一类非自治捕食扩散系统的周期解及其渐近稳定性

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目录1引言……………………………………………………………………………12文献综述………………………………………………………………………………12.1国外研究现状……………………………………………………………………12.2国内研究现状……………………………………………………………………12.3国内外研究现状评价………………………………………………………………12.4提出问题…………………………………………………………………………………23一致持续长久生存性……………………………………………………………………24周期解的存在性…………………………………………………………………………65周期解的全局渐近稳定性与唯一性……………………………………………………76结论……………………………………………………………………………………96.1主要发现………………………………………………………………………………96.2启示……………………………………………………………………………………96.3局限性……………………………………………………………………………………96.4努力方向…………………………………………………………………………………9参考文献………………………………………………………………………………1011 1引言由于全球经济的快速发展，人类的活动范围越来越广，从而使环境受到了严重的破坏，致使种群会从一块栖息地向另一块栖息地迁移，同时环境随季节而呈周期性变化，常常捕食者种群的增长是非密制约的，因此考虑功能反应且周期系数的扩散系统具有实际意义．开始人们研究比较多的是自治系统，后来文［1-5］研究了非自治Lotak-Volterra竞争扩散系统．文［6-12］研究了同一环境下两捕一食三种群周期系统，而对具有Holling类功能反应扩散系统研究的较少．文［13-16］讨论了HollingⅡ类功能反应且周期系数的三种群非扩散系统的持久与周期解全局渐近稳定性．该文对较一般的具有扩散系数HollingⅡ类功能反应的一捕两食三种群非自治捕食系统进行研究，得到了唯一全局渐近稳定周期解存在的充分条件．2文献综述2.1国外研究现状现查阅到的国外相关资料中，关于功能反应且具有周期系数的扩散系统的研究几乎集中在自治系统上，而对非自治系统的研究甚少，虽然也对非自治系统进行过研究，如ZengGuangzhao、DouJiaWei、Caofeng、LuZhoughua分别在文献[1-4]中对自治和非自治的捕食系统进行了研究；文献[5-9]中研究了非自治的Lotka-Volterra竞争扩散系统，但对具有Holling功能反应扩散系统的情形就没有研究，可具有Holling功能反应的扩散系统具有很重要的实际背景，我们又不得不对其进行研究，并且还对带有一般性的具有Holling功能反应扩散系统进行了研究．2.2国内研究现状现查阅到的国内资料中，大多集中在自治情形，而刘启明、张树文、陈兰荪分别在文献[10-12]中对两食一捕非自治情况进行了研究；在文献[13-18]中，对非自治系统进行了研究，讨论了HollingⅡ类功能反应且周期系数的三种群非扩散系统的持久与周期解全局渐近稳定性，但研究都集中在比较简单的情形，对较一般的非自治捕食扩散系统没有进行深入的研究．2.3国内外研究现状评价在查阅到的国内外文献[1-18]中11 ，国内外研究比较多的是自治系统，后来研究非自治系统，多数集中在两捕一食系统上，尤其是对具有扩散系数HollingⅡ类功能反应的一捕两食三种群非自治捕食系统的研究就更少了，这方面的资料极少，研究也不很深入，还有许多值得研究的问题，我们所研究的只是其中一个问题，是在这些已被研究过的系统的基础上进一步一般化研究．2.4提出问题本文在文献[1-18]的基础上，对具有扩散系数HollingⅡ类功能反应的一捕两食三种群非自治捕食系统进行了一定的研究，具体讨论如下Lotka—VolterraHolling具有Ⅱ类功能反应的非自治扩散系统：(1)其中分别是种群X，Z在斑块Ⅰ上的密度，分别是种群Y,Z在斑块Ⅱ上的密度.种群Z可以在斑块Ⅰ与Ⅱ之间扩散，而种群X和Y分别被限制在斑块Ⅰ与Ⅱ内活动，种群Z以种群X和种群Y为食.其中都为连续有界正值函数，是正常数；是种群Z的扩散系数．通过运用微分方程定性理论，得到了系统（1）存在唯一全局渐近稳定周期解的充分条件，使其能够更好的运用于实际．3一致持续长久生存性定义1.=，，这里是连续有界函数．引理1.是关于系统（1）的不变集．证明．对于任意t由系统(1)，有11 对于所有系统所有的解　　　．(2)引理2.设为系统(1)满足(2)的任意解，则存在当时，有．证明。取V(t)=x(t)，有取为任意正数，得到．若对任意的,当时，有，则，这将矛盾．因此一定存在使当t>时，，则V（t）有界．否则，假设，使V（）．从上面的讨论可知，存在与，使V()=V()=，且当时，有（这里）．因此在，至少有一个最大值，设在，获得最大值．在内，这与矛盾．由以上讨论可知，对，有，即x(t)<．取，则．11 定义2.，(i=1,2)．若，则与上面的证明相同，可得：当有有,(i=1,2)．取T*=max当t>T*时，．定理1.若系统（1）满足如下条件：(i=1,2)．则系统（1）有三种群将一致持续生存．证明．设为系统(1)满足系统(2)的任意解．取V(t)=x(t),则取V(t)=y(t)，则定义3.(i=1,2).11 若V(t)=V(x(t))=，则若V(t)=V(x(t))=，则取其中：为任意正数.由,又由(i=1,2),取适当的，以使与引理2类似的证明可得：存在，当，有，，，又由引理2，时，11 .取,当时，令，且S是有界闭凸集，又由引理1知，是系统(1)的不变集，因此系统(1)满足初值r(0)>0的任意解最终将落在有界域S内，即系统(1)各种群可以持续长久生存．从以上讨论可以看出，定理1的条件对扩散系数并无要求．4周期解的存在性若系统(1)成为周期系统，即系统系数都是周期为连续正值函数．记=，，这里是连续正值周期函数．把满足(2)的周期系统的解记为．定义：的Poincare`映射A如下：A()=．定理2.如果周期系数(1)满足定理1的条件，于是系统(1)至少有一个周期为的正解．证明．从引理1及定理1知，是系统(1)的正向不变集，且S是一个有界闭凸集.知即又由解对初值的连续依赖性，知S是连续的．据Brower不动点定理【17】，得A在S中至少有一个不动点，使．因此系统(1)至少有一个周期为的正解．11 5周期解的全局渐近稳定性与唯一性定理3.周期系统(1)除了满足上述条件还满足以下条件：则系统(1)存在唯一一个周期为的正解，且是全局渐近稳定的．证明．设为系统(1)的一个以为周期的正解，设为系统(1)的任意一个满足(2)的正解．由定理1知，当设f(t)为上连续可微函数，定义为则有．构造Liapunov函数：11 同理可得：令．由已知条件知,故．所以由定理1知，当有界，则有界，从而11 由文献[8]的引理1.2.2可知从而可得；．故w(t)是唯一全局吸引的以为周期的正解，即方程(1)的正解是全局渐近稳定．以上讨论可知，方程(1)周期为正解的全局吸引性及唯一性与扩散系数有关．6结论6.1主要发现本文在文献［1-18］的基础上，运用Brower不动点定理和Liapunov函数方法研究了一类非自治捕食扩散系统的周期解及其渐近稳定性，得到了该扩散系统周期解的存在性及其全局渐近稳定性和唯一性．6.2启示非自治扩散系统本身具有很强的实际应用，尤其是本文研究的扩散系统周期解的存在唯一性和全局渐近稳定性在生态学中起着举足轻重的作用．在撰写本文时，用到了许多学过的专业知识以及以前没有接触过的知识，这就启迪我们在数学专业方面的学习,应多下功夫，同时理论联系实践,把数学服务于实际生活中.6.3局限由于这类非自治捕食扩散系统比较复杂，文中未能再给出存在唯一渐近稳定周期解的其他充分条件，在今后的学习和研究中还要不断地深入探讨，以弥补该文的不足．6.4努力方向有关非自治扩散系统的研究领域非常广阔，今后我会更加努力和深入地学习微分方程定性与分支理论和知识，研究更加复杂的生态系统，得到更多有关周期解的充分条件，为实际运用提供指导作用．11 参考文献[1]ZengGuangzhao,ChenLansun,ChenJunfang．Persistenceandperiodicorbitsfortwo-speciesnonautonomousdiffusionLotka-Vloterramodels[J]．MathcomputModelling,1994,20(12):69-80．[2]DouJiaWei．Perisistenceandperiodicsolutionsofasystemoftwocompetingspecieswithfunctionalresponse[J].JBiomath,1997,12:15-22．[3]Caofeng,ChenLansun.Asymptoticbehaviorofnonautomousdiffusionlotka-Volterramodel[J]．SysSciandMathScis,1998,12(1.1)．[4]LuZhoughua,ChenLansun．Globalasymptoticbehaviorofnonautomousdiffusionlotka-Volterrasystemwithtwo-predatorsandone-prey[J]．ApplMath-Jcn,1995,10B:267-275．[5]GOPALSAMYK.StabilityandOscillationsinDelayDifferentialEquationsofPopulationDynamic[M].KluwerAcademicPublishers,1992:126-137．[6]WangDuo．NormalFormsandBifurcationofplanarvectorField[M]．ChambridgeUniversitypress，1994:278-280．[7][美]艾斯尔，方世泽荣．微分方程原理及题解[M]．北京：晓园出版社，1993：221-235．[8][美]WILLIANF.LUCAS.朱煜民，周宇虹译[M]．长沙：国防科技大学出版社，1988:278-290．[9][苏]THXOHOBAH等，张德荣等译．微分方程[M]．北京：高等教育出版社，1985:246-278．[10]刘启明，原存德．两捕一食非自知扩散系统的持续生存[J]．工程数学学报，1999,16(4):39-45．[11]张树文，谭德君．具有Holling类功能反应且周期系数的三种群混合系统的研究[J].生物数学学报，2000，15(3):353-357．[12]陈兰荪，陈健．非线性生物动力系统[M]．北京：科学出版社，1993:46-52．[13]陈兰荪.生物数学引论[M]．北京：科学出版社，1988:23-31．[14]寿纪麟.数学建模——方法与范例[M]．西安:西安交通大学出版社，1993:278-286．[15]王高雄，周之名，朱思铭.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2008:289-335.[16]东北师范大学微分方程教研室.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2006:256-265．11 [17]丁同仁,李承治.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1985:279-285．[18]孙清华，李金兰.常微分方程内容、方法与技巧[M].武汉：华中科技大学出版社，2006：278-290．致谢此论文是在指导教师刘俊教授的正确而又耐心的指导下完成的．他以严谨的治学态度从本文的开题到定稿的每一个环节都给予了我悉心的指导．刘老师不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀，在此谨向刘俊教授致以诚挚的谢意和崇高的敬意．我还要感谢在一起的毕业论文小组的同学们，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文顺利完成．其次，衷心感谢曲靖师范学院数学与信息科学学院的各位老师，您们精彩的授课，严谨的治学无一不深深激励着我.你们的教诲将是我这一生中最宝贵的一笔财富.感谢数学与信息科学学院四年来对我培养和教育，也感谢各位领导，是你们给予了我这次学习的机会.还有20061111班的全体同学，能与大家相识相交是我的荣幸，感谢你们的帮助与支持伴我走过这四年的生活.最后，还要深深感谢我的父母这么多年来的关心、鼓励．最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感谢！11