带扩散项的捕食系统解的性质

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陕西师范大学硕士学位论文带扩散项的捕食系统解的性质姓名：谢强军申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：吴建华2003.5.1 带扩散项的捕食系统解的性质谢强军摘要：自从偏微分方程被用来描述生物学中许多生物规律和现象以来，一直吸引着大量的专家和学者的注意力，并形成了许多具有很强实际背景的新课题．f而生物群体动力学中应用更多的一类数学模型如反应扩散方程(组)，它是一类半＼≥线性抛物跫方程(组)：丹，，：暑一D(x，U)AU=，(z，职gradU)，(z，￡)∈Q×lrU0其中D(为U)=diag(dt(x，矿)，⋯，dm(。，u))．反应扩散方程运用到生物群体动力学中主要体现在生态方程有了扩散项．在生态系统中，由于生存空间、食物等竞争因素的影响，生物群体自然地按各自的扩散率函从密度高的地方向密度低的地方转移、扩散．而群体的出生、生长与死亡或种群阉竞争、互助、捕食与被捕食等产生的一系列过程可在反应项中表出．于是，研究具有捕食与被捕食关系的种群的本文共分三部分内容就三类带扩散项的捕食一食饵系统的解的性质分别进行了讨论．、—g态学中捕食．食饵模型中一个经典丧型是v矾e玎。一Lotk＆模型，作为这一模型的推广，得到了一类一般的具有扩散项的捕食．食饵系统．模型1就是该模型的平衡态系统。即茁∈n．$∈n．z∈舰．其中地u为。的函数，n为Rn中的有界开区域，边界an充分光滑，6(z)≥0，≠o(x∈an)．反应项中警<0，篑>0．利用文献[1】1中度理论、【2一lo]中锥映象不动点指数方法，并结合分歧理论[11-tg]，极值原理【17】【19】，上下解方法[20—22】和算子谱分析123—24】等，在文中第一部分讨论了其平衡解的存在性，部分推广了文献【7]【23】的结论．模型2仍是一类捕食系统的平衡态方程，即f一△u=uM(u，")，{-Av=vN(u，u)，【器+b(x)u=o，器+6(。)”=0z∈n。z∈n．o∈an础‰两辫以斧副 比模型l简单，但进行了更深入的研究，本文第二部分利用局部分歧理论的技巧[17】证明了系统在半平凡解(uo，0)、(0，”o)处出现正解分支，运用稳定性理论分析[16-1T]并得到了分支点附近的正解的稳定性情况，成功的解决了反应扩散方程研究中的一个基本问题：平衡解的稳定性．另外，生态系统受到季节、环境等因素的影响会产生一些季节性波动的事实反映到方程上，即某些参数的变化会引起方程解的性状的变化，如对稳定性的影响，产生周期解等等．Volterra-Lotka捕食模型中如果加上一些环境、季节等因素，即各系数为z或t的函数，特别是为T一周期函数，方程将出现周期解的情况[30—32】．文中第三部分讨论了一类推广的具扩散的周期捕食系统，即模型3fut—dl(t)△u=u(F(z，t，t1)一G(o，t，口))．J毗一d2(t)△口=”(^f(z，t，")+Ⅳ扛，t，t‘))1器+r(￡)t‘=0，器+r(。)"=o，【u(茁，0)=珏(z，T)，”(正，0)=v(x，T)，z∈n，t∈R，$∈n，t∈R，z∈m，t∈R，$∈n．我们利用周期抛物型算子理论[38】，解耦方法[801，Schauder估计【39】和分歧理论【17】【19】解决了周期捕食．食饵系统的正解的装亮态，得到了系统正周期解存在的一个充要条件．其结果推广了文献【30】的结论．j本文在模型和一些证明方法上都有一定的创新．如模型1和模型3均是在已有模型的基础上作了合理的推广．而第一、二部分中对系统解的先验估计，我们给出了具有更一般性的条件．不动点指数计算方法在证明捕食系统解的存在性时的运用，相当成功．关键词t不动点指数分歧稳定性周期抛物型算子II PropertiesofSolutionsforPredator-PreySystemswithDiffusionXIEQiang-junAbstract：Sincepartialdifferentialequations(PDE)wereusedtodescribebiologicalregulationsandphenomena，agreatmanyscholarsandspecialistshavebeenpayingmoreattentiontoPDEandmanynewsubjectshavebeenestablishedwhichhavemorerealitybackgrounds．Onekindofclassicmodelsinthedynamicsofbiologicalpopulationsisreactiondiffusionequations，whichisakindofsemi-linearparabolicequations，thatis酉OU—D(z，u)Au=m，u,gradU)，(z，t)∈QxR+，HereD(x，U)=diag(dz(。，矿)，⋯，dm扫，矿))．Theusageofreactiondiffusionequationsinthedynamicsofbiologicalpopulationsmainlyreflectsthattheecologicalequationshaveadiffusionterm．Inecologicalsystems，biologicalpopulationsspontaneouslymigrantordiffusefromlocationsofhighconcentrationtoiocationsoflowconcentrationbytheirowndiffusedratesdiforthesakeofeffectsofspace．foodsandothercompetitivefactors．Aseriesofprocesses：speciesbirth，growthordeath；predator-prey,competitionorcooper-ationamongspecies，etc．，canbepresentedinthereactionterm．Therefore，studiesonthecoexistence，stabilityandpersistenceforpredator—preysystemshaveveryimportantpracticalsignificancetoequilibriumofecology,ecologicalenvironmentspreservationandevensavingtherareandpreciouscreatureonthebrinkofextinction．Thewholethesisismadeupofthreesectionstoinvestigatethepropertiesofsolutionsforthreekindsofpredator-preysystems，respectively．Oneclassicalmodelofpredator-preysystemsinecologyisVolterra——Lotkamodel．Asanextension，wegetonekindofpredator-preysystemswithdiffusion，andModellisthesteady．stateequationsofthismodel，i．e．z∈n．$∈n，+6(。)"=0，z∈anHerenisaboundeddomaininR“(n≥0)withsufficientlysmoothboundaryOf／．n，"arethedensitiesoftwopredator—preyspecies，6(z)≥0，≠0on鼢，andthefunctionssatisfy而OM<0，瓦ON>0．Withtheusageofdegreetheoryin【l】，calculatingindicesoffixedpointsofcoral：lactmapsinCODesof【2-10]andcombiningwithbifurcationtheorieslll-上卅，maximumprinciples[tT][to]，lower．uppersolutionsmethodsf20一22Jandspectrumanalysisofoperators[2s一24]，wegetsomeresultsofthecoexistencesolutionsforModellinthefirstsection．Theresultscanbeseenextensionsof[7]【23]．IIImL踟|蔷躲一¨m曲|llIH以斧引 Model2isalsoconcernedwithsteady-stateequationsofanextendedclassofpredator．preysystemswithdiffusion，i．eI-Au=uM(u，u)，{-Av=vN(u，")，【舞+6(z)“=0，器+b(x)v=o∈n．z∈Q，0，o∈舰ThismodeliSlesSsophisticatedthanModell．butweinvestigateitfarmoredeeply．Inthesecondsection，bymeansoflocalbifurcationtheories[1“，wehaveprovedthesystemgeneratebifurcationatthesemi·trivialsolutions(U0，o)，(0，vo)．Furthermore，usingsta-bilitytheory[16]M．weanalyzethestabilityofthepositivesolutionsnearthebifurcatingpointsandgetidealresults．Afundamentalquestionofthetheoryofreactiondiffusionequations，stabifity,hasbeensolvedsuccessfully．Inaddition，thefactthateeologicalsystemsmayOCCUrsomefluctuationsfortheseasonalorenvironmentalfactorscanbereflectedontheequationsbyCOefficientswhicheffectthepropertiesofsolutions．Foraninstance，thevariouscoefficientsofVolterra—Lotkapredator-preysystems[30】dependonbothzandtmodelingthefactthateffectsvaryinbothtimeandspace；theperiodicityofcoefficientsmodelsseasonalfluctuations：occurringperiodicsolutions．Inthethirdsection，weexploreakindoftwo-dimensionperiodicpredator-preysystemswithdiffusion，i．e．Model3rut—dt(t)An=u(F(。，t，n)一G睁，t，"))，z∈Q，t∈R，J"t—d2(t)hv=v(M(x，t，口)+Ⅳ(。，t，u))，z∈o，t∈R，1器+r(动t‘=0，舞+r(茁)"=0，$∈砌，t∈R，It‘(茹，o)=t‘(茁，T)，"(茁，0)="(茁，T)，$∈n．Byemployingthetheoryofperiodicparabolicoperators[381，theestimatesofSchauder[3⋯，decouplingmethod[SO]andbifurcationtheory,wegettheresultsofcoexistenceoftime-periodicsolutions．Anecessaryandsufficientconditionforcoexistenceofpositiveperiodicsolutionsisobtained．TheresultwegetCanbeseenanextensionof【30]．Inthispaper，wepartiallybringnewideasinthemodelestablishingandsomemeth-odsofproof．WegetModellandModel3byreasonableextendingtheexistingmodels-Wegivemoregeneralconditionsforprioriestimatesofsolutionsinthefirstandsecondsections．Rathersuccessfully,weapplythemethodofcalculatingindicesoffixedpointstoprorecoexistenceofsteady-statesolutionsofModeli．KeywordsIndicesoffixedpointsBifurcationStabilityPeriodicparabolicoperatorsIV 前言偏微分方程作为一门经典学科，自从微积分理论形成后不久，长期以来，人们一直用它来描述、解释或预见各种自然现象，并用于备门科学和工程技术，不断地取得了显著成效．以应用为目的，且以生物、物理、化学、医学等学科中的问题为背景的应用偏微分方程的研究，不仅是传统应用数学的一个最重要的内容，而且是当代数学中的一个重要的组成部分．它是数学理论与实际应用之间的一座重要的桥梁，研究工作一直非常活跃，研究领域日益扩大．比如生物群体动力学，很早就引起了广大专家学者的关注．从历史发展的角度看，在上个世纪30年代以前，人们对于最常见的三类偏微分方程已有了系统的了解，并以多元微积分学为主要工具形成了许多至今仍在广泛使用的有效方法．30年代前后，Sobolev创立了以他名字命名的空间理论，随后在Sobolev空间理论基础上建立起来的泛函分析方法，为处理线性及非线性偏微分方程的问题提供了强有力的框架和工具，在实践中得到广泛的应用．50年代后，以广义函数为标志又出现了许多经典方法，如Fourier分析法，拟微分算子，Fourier积分算子，微局部分析，超函数等等理论和方法．本文所研究的几个问题，所用方法主要是微局部分析和泛函分析方法，如不动点理论及其指数计算法，算子谱分析，解估计，分歧等．反应一扩散过程是生物、物理、化学等中常见的自然现象，其数学模型为一类半线性抛物性方程，这里我们将称作反应扩散方程．近二十年来，反应扩散方程的研究之所以日益受到重视，一方面在于它有强烈的实际背景，另一方面，在反应扩散方程的研究中，对数学提出了许多挑战性的问题，从而引起了越来越多的专家们的关注．生物群体动力学中，若以Pi表示第i类生物群体的密度，并假设由于生存空间、食物等竞争因素的影响，生物群体自然地按各自的扩散率现从密度高的地方向密度低的地方扩散，而每类群体的出生、死亡或种群间因捕食、被捕食等产生的一系列过程可在反应项中表出，那么此时的生物群体动力学问题可用下列数张蛛嬲酉Opi一。,再02pi+豁坛02P．i)锄，⋯川，酉叫‘再+雾+。=跏lj一川，这就是由n个-Z程组成的半线性抛物型方程组，非线性项Fi(m项．写成向量形式，即蓑一聊，啪“=，(x,u,gra删，(州)∈n×R+P。)称为反应 其中D(x，u)=diag(dl(z，“)，⋯，dm(z．u))．于是称(+)为反应扩散方程．根据不同情况可以研究初值问题，即n=R“时，满足初始条件u(z，o)=UO(。)也可以研究各种边值问题，即nCR“有界，满足三类边界条件Bu=g(x，t)，(z，t)∈012×R+，其中边界算子砒2i。。嘉鬣(咖这里ao恒不为零，bo≥0可恒为零．系统(+)与时间无关的解满足方程一D(x，u)Au=，(o，u，gradu)，(o，t)∈n．(}})这时边值条件中g(x，t)；§(z)=limt．。g(x，t)，我们称(”)为平衡态方程．生态学中的捕食一食饵模型的研究，在过去几十年里有了很多很好的结果，并且对具有扩散项的捕食．食饵系统的研究也得到了许多新的结果．二维捕食-食饵系统中典型模型是Volterra—Lotka捕食一食饵模型“t—DffXu=u(al—blu—clv)，z∈n，t>0，vt--：D2，／'kV2：vo(，a2+幻“一。2”)，$x∈6aflQ,Bu0By，：；00：(o．1．1)=，=0，$∈ai2，t>，、。7u(o，0)=uo(x)≥0，v(x，0)=vo(x)≥0，z∈n．其中Q为酽(n≥0)中的有界区域且边界aQ充分光滑，u($，t)，v(z，t)分别表示在区域n中被捕食者(prey)和捕食者(predator)的物种密度，参数ai，bi，ci，Di(i=1，2)均为正常数．人们对系统(0．1．1)更多的关注是两物种能否共存或者是一物种持续生存而另一物种消亡．从数学的角度来说，即当t_÷00时，方程(0．1．1)的解(u，V)恒为正数还是u_÷0或”_+0．而在讨论过程中，很容易看出，共存问题与平衡态系统的正解的存在性紧密相关，解的渐近行为与平衡解的性质如稳定性的关系密切．于是更加凸显出平衡态问题的研究的重要性，比如解的存在性、稳定性等问题均为人们所关注的热点．另外，若将系统(o．1．1)中C1，62分别由上l+mu，T}‰(m≥o)代替，得到的是一类具有饱和项(saturation)或Holling-Tamaer项的捕食-食饵系统¨￡(。，t)一dIAu(x，t)=olu—blu2一亡筹兰，z∈Q，t>0，誉篷Z0B如v等’∞～2¨溉12以：：器，矬0(0蛐)Bu=．=0，o∈dSZ，t>，u0，0)=uo(x)≥0，v(x，0)=vo(x)≥0，o∈i2．也有许多的研究，如文[8][13][2s-29]等．2 模型1讨论的是一般捕食系统，可视为模型(o．1．1)，(o1．2)的推广．如将方程右边反应项推广到较一般的函数形式，附加一些条件，即反应项是z，“，”的函数：uM(xm")，vlV(z，u，口)，其具体形式不定，只约定百OM<0，瓦ON>0，以保证其捕食．食饵模型的基本性质．我们主要利用度理论不动点指数方法，结合极值原理上下解方法以及算子谱方法，讨论了系统平衡解的存在性问题，得出了系统存在非负解的几个充分条件．见第一章．模型2也可视为(o，1．1)，(o．1．2)的的一类推广模型，反应项中函数M，N∈C1(R+×R+)，且^“≤0，≠0，Ⅳu≤0，≠0，即系统中，u，U分别为被捕食者、捕食者的密度函数．我们运用线性化算子理论、分歧理论以及稳定性理论来讨论问题的平衡解的存在性和稳定性．见第二章．生态系统受到季节、环境等因素的影响而产生季节性的波动的事实，反映到方程上即某些参数的变化，特别是随时间的变化会导致方程解的性状的变化，如对稳定性的影响。产生周期解等．具体表现为系统参数是z或t的函数，特别是T一周期函数时，方程将出现周期性的结果．对于这类周期捕食食饵系统，目前已有了许多研究，如[30-33]等。与模型(0,1．1)对应的周期系统ut—dl(t)Au=t正(口(o，t)一扫u(￡，t)一c(茁，t)臼)，o∈n，t>0，1)t—d2(t)Av=u(一e(。，t)一，(z，t)u+9(z，t)u)，z∈n，t>0，，n1讪Bu(x，t)=0，By(2；，t)=0，z∈aQ，t>0，、v⋯叫u扛，0)=u($，T)，"(z，0)="(z，T)，￡∈Q．文f301运用周期性的抛物型算子理论较完整的讨论了正周期解的存在性，得到了存在正解的几个充分条件和充要条件．文[31]通过构造迭代列，分析和讨论了系统(0．1．3)的整体共存态即正周期解的存在唯一性．早些时候的文献如【32】运用上、下解方法得到最大最小解，然后利用Banach空间上的Schauder不动点定理证明了捕食系统周期解的存在性．上、下解方法及构造单调迭代列等方法一直都是讨论半线性抛物型方程时常用方法，如证明解的存在性[31-34】或解得渐近行为[35]等．鞋带法(Bootstrap)也是常用方法之一，妇文[35-37]等，但是对于捕食一食饵模型Bootstrap技巧难于运用【31】．模型3作为模型(o．1．3)的推广，反应项中函数只G，MN为n×且×R上的T一周期光滑函数，且在Q×R上F'M分别为“，"的严格减函数，F(x，t，0)>0，M(2：7t，0)≤0；G，N分别为"，u的严格增函数，G(z，t，0)_0=Ⅳ(z，t，o)．我们运用周期抛物型算子理论，对线性化抛物型算子相应的发展算子进行了详细讨论，并运用了分歧理论等方法得到了系统存在整体正周期解的一个充要条件．部分地推广了文献f30】的结论．见第三章．3 第一章捕食系统平衡态方程的非负解§1．1引言如今，人们运用反应扩散方程理论来研究生态领域中的数学模型，已成为一个相当热门的课题．到目前为止，已经有许多文献[10][1a～14]【211[23—29]对系统(o．1．1)的解的情况特别是平衡解的存在性问题进行了广泛的研究．【2l】中给出了运用上下解及迭代的方法得到的对参数多种情况的讨论结果，文可参见第十二章定理5．1．文[14]中利用解耦方法(decouplingmethod)以及整体分歧理论技巧证明了平衡系统正解的存在性．文【26]对具有径向对称性质的系统运用算子谱分析的方法得到了正解存在唯一性的结论．对系统(0．1．1)做形式上的推广，可得到许多相应结果或其它结果．如文【10][23】中将方程右边反应项推广到较一般的函数形式，附加一些条件，分别得出了正平衡解存在的充要条件．文[30]讨论的是系数参数均为z或t的以某个T为周期的函数的系统，其中ai，bi，q0=I，2)为z，t的函数，Di“=1，2)为t的函数．文中运用具有周期性的抛物型算子理论讨论了正周期解的存在性问题．其它更多的研究如文【27】【16】等．显然，模型(0．1．2)中当m=0时即为典型的v．L模型，而当m>0时，问题变得更为复杂．Blat和Brown在文【13】中最先讨论了这类捕食系统的正平衡解的存在性问题，他们运用局部分歧和整体分歧理论给出了正解存在性的证明．文『51对m>0的情形更细致的得出了正解唯一性和多重往的结果，所用方法主要是不动点指数计算方法．而文【28】借助于计算机利用数值模拟方法形象直观的讨论了三个平衡解的稳定状况，其结果较一般的v，L系统深刻丰富．最近。文【29]对于具有饱和项的捕食．食饵系统作了更深入的研究，文中运用比较定理及线性化理论讨论了平衡解的稳定性，利用线性半群估计法和一致持续生存理论给出了最大吸引子的存在性及解的一致持续生存结果．这一章我们讨论的是一般的捕食系统，即反应项是。池”的函数：uM(x，u，。)，vN(x^")，其具体形式不定，只约定筹<0，筹>0，以保证其捕食-食饵模型的基本性质．然后利用不动点指数方法，结合极值原理、上下解方法以及算子的谱分析，讨论其平衡解的存在性．我们主要以第三边值条件为例讨论如下的更一般捕食-食饵模型，其它边界4 条件(如Dirichlet边界条件)可类似讨论ut—D1Au=uM(z，u，”)，Vt—D2Av=vN(x，u，u)，舞+6(。)u=0，嘉+6(z)”=0，u(O：z)=“o(X)≥0，v(O，X)=vo(x)将正常数Dt，D2除到右边，平衡态方程仍记为￡>O．i嚣(1¨)l--Au=uM(x，u，口)，X∈n，{～Av=vN(x，u，口)，z∈Q，(1．1．2)【两Ou+6(z)u=0，器+6(。)"=0，z∈pn．其中u，”为。的函数．对于系统(1．1．1)(1．1．2)中，我们假设(H1)n为R”中的有界开区域，边界an充分光滑，其中O／On表示单位外法线的方向导数，6(z)≥0，≠o@∈oa)．(H2)在豆上，M，N∈C1(R+×R+)，且满足(1)当t‘，u≥0时，^磊(z，u，")≤0，≠0，Ⅳ。(z，u，口)≥0，≠0．(2)存在常数C1>0，当u>晚时，M(x，u，0)0，当">⑦时，N(x，C1，")<0．(3)当“，"≥0时，舰(z，“，0)<0，^0(z，0，")<0．(4)M(x，0，0)>0．(5)当u，口≥0时，M(z，0，")≥M(z，u，")，Ⅳ(z，u，0)≥Ⅳ(z，u，口)．其中(H。)(5)中M(z，0，”)≥M(。，u，”)具有很明显的生物意义，即当被捕食者“还没有出现但将要出现时，它的出生率最高．§1．2部分引理和半平凡解引理1．2．1对于带有参数p∈[0，1】的边值问题若对vp∈[0，1]，％u为方程(1_2．1)的非负解，则石∈n．o∈n，(1．2．1)茹∈an．0≤“(z)≤Cl，0≤口(。)≤C2，zE再5哦嘎{黾融∈∈∈∈oZoZ0>一O=ZbM咄跏丽Ub㈦即仉埘州一pp∞=1fMⅡ"卜以也舡，●●●，、●I 证明ui0，ui0，显然是方程(1．2．1)的解．可证若“≥0，≠0，则u>0，z∈丽．这是因为，如果存在x0∈豆，使得“(zo)=0，则。o∈an要不然，：r0∈n，由极值原理㈣，有u；o(z∈豆)，产生矛盾．但是，若。o∈aQ，由H叩f边界引理有地an|。：。。<0与边界条件舞+b(x)ul。：∞=0矛盾．同理可证，若"≥0，≠0，则">0，z∈豆．下面证明“SC1，"≤C2．用反证法．假设存在XO∈丽使得u(xo)=max百u(x)>C1．若知∈n，则Au(xo)≤0．但是，由条件(H2)(1)(2)得au(xo)=一u(xo)M(xo，"(。o)，"(zo))≥一u(xo)M(xo，u(zo)，0)>0，产生矛盾．若X0∈0fl，因为u(。)∈G(豆)，且(皿)中假设勰具有内切球性质，所以可在XO的一个E一邻域U‘(zo，E)=v(xo，E)n孬c豆内取过。o的内切球B，使得在B内u(z)>C1，由(H2)(1)，(2)得一△u=,uuM(x，u，u)≤puM(z，u，0)≤0，再由Hopf边界引理，得!％≯>0，与边界条件!％碧+b(zo)¨(印)=0矛盾．假设存在XO∈豆，使得v(xo)=max再v(z)>C2．若。o∈Q，则Av(xo)≤0．但是，由条件(H2)(1)(2)得Av(zo)=一v(xo)N(xo，u(zo)，"(zo))≥一v(xo)N(xo，C1，"(zo))>0，产生矛盾．若。o∈舳，类似前面推导得出矛盾．于是证得结论成立．设实数P>0充分大，使得max(m_ax{IM(x，u(z)，”(z))I}，m_ax{lNCx，“(。)，”(。))1))0，使得Y+Ox∈彬对所有0蔓0≤r成立)是E中的禊，S：=0∈矾卜zE觋’是E的线性子空间．设工+：矾-÷厩是紧线性算子，扩称为具有性质Ot，如果存在t∈(0，1)，“J∈雨Ⅳ＼岛，使得u—tL+u∈S．在本文中引用的记号以及具体意义，详见[2-3]．定理1．2．1[2](Dancer指数定理)设Ⅳ是E中的一个楔，A：Ⅳ-÷W是紧映射，且有不动点Yo∈彬使得Ayo=go，令L=A7(yo)是A在口。处的Fr$chet导数，则L：一W_÷谚．如果，一工在E上可逆，并且(1)工在形上具有性质a，贝4indexw(A，Yo)=o；(2)工在形上不具有性质n，则indexw(A，Yo)=indexE(L，p)=4-1，引理1．2．2126]假设T为序Banach空间上的一个紧线性正算子，取u为Banach空间中的一个正元，r(T)为算子T的谱半径，则(1)若Tu>u，则r(T)>1．(2)若TuA1(V27∈孬)，方程存在唯一正解．其中A1为特征值问题一Aw=Aw，z∈Q，丽Ow+b(x)w=o，z∈an的主特征值． 证明(1)类似引理1．2．1的证明可证，若u是(1．24)的非负解，则u；0或u>0(z∈豆)．于是，假设存在(1．2．4)的非零非负解u，则¨>o(z∈孬)，将方程两边乘以u并在n上积分，得厶IV“12如+以n6(z)u2ds2五“2M(z，“，O)d。，由特征值的变分问题，结合(H2)(3)，尬。(。，u，0)<0，得A·五u2dx<／alVul2如+正。b(z)u2ds=五u2M(x,u,O)出<正u2M(z，。，。)如，即岛“2(^1一M(x，0，o))出<0．但是，由条件M(x，0，0)≤Al(vz∈磊)，又u>0，可得如u2(^1一M(x，0，O))dx≥0，产生矛盾．所以结论(1)成立．(2)记特征值问题f—AU=AM(x，0，o)u，z∈Q，l舞+6(。)u=0，z∈aQ，的主特征值为Ao(M(x，0，o))．容易证明，若M(。，0，0)>A1，则Ao(M(。，0，o))<1．这里我们取Ao(M(z，0，O))对应特征函数为妒(。)>0(5∈豆)．令u=∞，其中d>0充分小，使得一A—u—uM(x，u，0)=d(一△妒)一6妒M(x，6妒，0)=J妒[Ao(』订@，0，o))M(z，0，o)一M(z，6妒，0)】=d妒[(^o(^彳(z，0，o))一I)M(x，0，0)4-(M(x，0，0)一M(x，d妒，o))】≤0，即u=聊为方程(1．2．4)的下解，且满足笪≤Cl，其中口为(1．2．4)的上解．由单调方法[19】可知，方程(1．2．4)存在极大解u+和极小解u一使得墅Su一≤u+曼C1．因为方程(1．2．4)的非负非零解满足u≤“SCl，从而有0h(V。∈孬)，方程存在唯一正解．将引理1．2．3，引理1．2．4结合起来考虑，容易得到系统(1．1．2)半平凡解的存在唯一性．即定理1．2，2(1)如果在孬上，M(x，0，0)>Al，那么系统(1．1．2)存在形式为(“，0)的唯一解(“D，o)，其中0<“o≤C1；(2)如果在瓦上，N(x，0，0)>Al，那么系统(1．1．2)存在形式为(0，”)的唯一解(0，V0)其中oAl，或者g(x，0，0)>A1Ⅳz∈丽)，则indexw(A，(o，o))=o；(2)若．^矿(z，0，0)<^1且Ⅳ(z，0，0)<^1(Vz∈孬)，贝《indexw(A，(0，o))=1．证明假定二。为A在(o，0)点的导算子，由(1．2．2)得三。=A’(。，。)=(一△+P)一1(M扛’％∞+PⅣ。，。％)+P)特征值问题Lo(u，”)r=：(“，”)r，(u，”)∈彬且u，”≠0，等价于一△t毒+Pu=p(M扛，0，0)十P)札，。∈Q，(1．3．1)(8)一△口+Pv=p(Ⅳ0，0，0)+P)v，z∈n，(1．3．1)(b)对于方程f1．3．1)(a)，令Al(芦)：=A1(一A+P一芦(必(z，o，0)+P))，则AI(p)为关于弘的连续递减函数．9 如果M(27，0，0)>A1(z∈菇)，那么Al(一A一^f(z，0，o))0，Al(1)<0．由函数的连续性，存在面∈(0，1)，使得A1(面)=0，即(1．3．1)(a)有特征值面<1．如果』订(z，0，0)A1(一A—A1)=0，贝0当肛=0，1时，^1(0)>0，^l(1)>0．由于函数为减函数，所以Al(p)>0对所有肛E(0，1)成立．于是(1．3．1)(o)的所有特征值都大于1．对于(1．3，1)(b)有类似结论，即当iv(27，0，0)>^1(z∈_)时，(1．3．1)(b)有小于1的特征值；当g(27，0，0)^l，或Ⅳ(z，0，0)>A1(Vz∈豆)时，工。有大于1的特征值；(ii)当M(z，0，0)0，男B么indexw(A，(“o，o))=0．证明不妨取虮=(“o，o)，则有矾。=a刍(豆)XK，Sy，=G刍④)x{01，由(1．2．2)得¨刊(训卟△+P)‘1(坝％如’0H紫扛一o'∞"燃苗噼)假设存在函数砒妒∈观①)，使得工t(币，曲)r=(妒，曲)T，则(一△+P)一1((^彳@，U0，0)+uoMu(王，uO，0)-t-P)妒+u0帆@，u0，o)≯)=妒，(一△+P)一1(Ⅳ扛，u0，0)+P)lj5=≯．整理，并代入边值条件得△妒+(M(x，'u0，0)+uoMu(x，71,0，o))妒=一uoMv(x，uo，o)≯，z∈l2．。△西+N(x．“o，0)西=0，zEn，(1．3．2)蒜+6(。)妒=0，嚣+b(z)咖=0，。∈an10 (1)^1(A+x(x，“o．o))<0首先证明，由(1．3．2)第二个方程得A1(△+N(x，“o，o))以≯i0于是(1．3．2)的第一个方程变为Ll在E上是可逆的．如果曲≠0．则0，与^1(△+U(x，“o，o))<0矛盾，所△币+(M(x，tt0，0)+uoMu(z，tL0，o))妒=0嚣+b(z)妒=0o∈n．o∈0n因为u0>0满足Auo+M(x，uo，0)uo=0，所以^l(△+M(x，“o，o))=0．由(H2)(3)可得U0尬。(。，“o，0)<0，Al(△+M(o，uo，0)+uo^乱∞，U0，0))<0．因此得到妒§0．即(妒，妒)=(0，o)．所以，一Ll在E上是可逆的．接下来证明L·在矾，上不具有性质o．反设L1在i吒。上具有性质a，则存在n∈(o，1)以及函数(妒，咖)∈矾。＼S。，其中(妒，毋)∈i吒。＼S。=铝(豆)×{Ⅸ＼(o))，使得(I—tlLl)(’o，≯)T∈岛。，即妒一tl(一△+P)一1((^彳(z，uo，0)+uoM。(z，uo，0)+P)妒+uo^厶(z，uo，o)咖)∈％(商)庐一tl(一A+P)一1(Ⅳ(。，“o，0)+P)≯=0由屯妒的取法可知(1．3．3)自然成立，对(1．3．4)有(1．3．3)(1．3．4)T毋=三tt≯>咖．(1．3．5)其中T：=(一A+P)_1(Ⅳ(z，uo，0)+P)．由引理1．2．2知r(T)>1．但是因A1(A+U(x，“o，o))<0，j≯>0使得△≯+U(x，uo，0)≯=Al(△+Ⅳ(z，uo，0))≯<0，两边加上P西>0，(△+Ⅳ(z，uo，0)+P)≯0．证法与上面基本类似．不同的是工1在可瓦，上具有性质a．这是因为，类似(1．3．6)的推导可得，丁庐=(一A+P)一1(Ⅳ白，I$0，0)+P)咖>咖．于是可以找到tl∈(0，1)，使得(，一t1工1)(砂，咖)T∈岛。，即证得算子Ll在矾。上具有性质Ot．由定理1．2．1，得indexw(A，(U0，o))=0．讨论算子A在(0，V0)的不动点指数，类似可以证明下面引理成立．引理1．3．4对算子A在(0，Ⅶ)的指数有下面结论成立：(1)若xt(A+M(x，0，uo))<0，则indexw(A，(o，"o))=1；(2)若Al(△+^f(z，0，咖))>0，贝0indexw(A，(0，"o))=0．接下来我们讨论^1(△+Ⅳ(uo，o))一0与^l(△+M(z，0，"o))=0的情形．首先对A1(△+g(x，uO，o))=0进行分析，有下列引理成立．引理1．3．5如果A1(△+Ⅳ(。，U0，o))=0，那么或者(1．1．2)存在正解，或者indexw(A，(“o，0))=1．证明因为^1(△+Ⅳ(z，u0，o))=0，存在函数如>0使得f△幽+Ⅳ(z，“o，o)如=0z∈Q，1笔}+b(z)咖o=0z∈oQ存在函数母使得f△妒+(』订(z，uo，0)+uoM。(z，ILO，o))妒=一uo^乱(z，IL0，o)≯o，z∈Q，【器+b(z)妒=0，z∈n·37J(1．．)12 因为^1(△+M(x，UO，o)+uo慨(z，uO，o))<0，由引理1．23及极值原理[6]可得(1．3．7)有唯一负解妒o<0，这样有非零函数咖o．咖。使得L1(咖o，西o)7=(妒o，咖o)7，且(妒o．如)∈(冶(豆)xK=厩。．因此，一厶在矾。上不可逆．从而不能用定理1．2i来证明．下面我们将利用Crandall：Rabinowitz分歧定理【11]来证明系统(1．1．2)在(1，uo，o)点附近产生分歧，进而得出结论．定义j’【^，u，”)：=(△u+uM(x，u，u)，Av+XvN(z，u，"))显然，F(1，“，”)‰，o)=0．定义算子Ll(1，uo，0)：=D(叫)F(1，uo，o)，这里D似，。)F(入，H，∞)表示F在点(u，")的n6chet导数，则Lz(1,uo,O)㈦X=(¨州删01∞产如蚓刚仉叭州uoM骶,(z,uo‰,O)。，)(：)令L1(1，¨o，o)(u，x)r=(0，o)?，得Aw+(Af(z，№，0)+It,D溉《z，罄o，o))u=一牡D^如(￡，ItO，o))x，。∈Q，AX+Ⅳ(z，UO，o)x=0，z∈n，器+b(x)w=0，舞+6(z)x=0，z∈an．由条件A1(△+Ⅳ(z，UO，o))=0，可知存在特征函数xl>0，且sup。∈再灿(z)=1．又由于主特征值Al(△+M(。，uo，0)+uoMu(x，uo，o))<0可知，存在唯一的函数w1满足第一个方程．因此，LI(1，uo，0)的核空间N(LI(1，U0，o))=spans(@1，x1))，所以dimN(Ll(1，uo，o))=1．算子L1(1，u0，0)的伴随算子为，A+M(z，uo，0)+uoMq(x，“o，0)0＼Fnm，∞2l。删训㈣0A+1讹‰0)J＼uo地(o，uo，)+·Ⅳ(z，uo，)／令p(1，uo，0)(∽，x)T=(0，o)T，易得(u，)()=(0，x1)，所以N(L+(1，％10，o))=spans((0，xD}利用Fredholm选择公理，有n(L1(1，¨o，o))=№)()∈BI厶m咖=o)，所以codimR(L1(1，q90，0))=1．定义算子L2(1，uo，o)：=D^_D(。，。)F(1，uo，o)，通过运算易得三。(1,uo,0，(xw。1)=(。0Ⅳ。。二。，。，)(xto。1)=(Ⅳ。。，t：：，。，×，)． 因为△xl+N(x，UO，O)Zl=0，z∈f2，则Ⅳ(z，“o，o)xi=一)(1△xl，厶Ⅳ(X,Uo，0)x{出=五一x·△x·出=厶lVx-i2dx+五。6(z)x{ds≠。．于是L2(1，U0，o)(u1，x1)隹R(Ll(1，"o，o))．以上讨论满足了Crandall-Rabinowitz定理的条件In]，所以F(A，“，")=o(A∈R)在(1，UO，o)点处出现分歧．从而，存在6>0，Is{<6，及C1函数(A(s)，r(s)，t(s))：(一J，d)_÷RxE，使得A(o)=1，r(O)=0，t(o)=0，r(s)，t(s)∈Z，zoN(Ll(1，“o，o))=E，“(s)=720+s(wl+r(s))，v(8)=s(x1-I-t(5))．并且满足F(^(s)，u(s)，”(s))=(0，o)．接下来分析以下两种可能情形：(1)Ⅳ(8)i0，18I0且蚓很小，所以jE>0，当00，v(s)>0，得证系统(1．1．2)存在正解．第二种情况：A如)≠0，存在∥>0，使得当18J<∥≤J时，Ⅳ(。)恒不等于0．在(1，uo，0)的邻域内，由F(X，u，")=(0，0)分歧解的唯一性可知系统(1．1，2)有唯一解(“o，o)，因此(“o，0)为算子且的孤立不动点．但是，算子A’‰，0)有特征值为1，故不能直接用公式indexE(A’(“o，o)，(0，o))=(一1)4，其中a为A’(uo，0)的大于1的所有特征值的代数重数的和．于是我们定义算子At(u，廿)：=(一△+P)一1∞(A彳扛，钍，v)+P)，∞(Ⅳ(。，牡，静)一t+P))其中t∈【0，1】，显然，(“o，0)为算子A的不动点，At(uo，0)=(uo，0)，并且定义算子A在(UO，0)点关于u，”的导算子厶：=A：(uo，0)，U(x㈨，0)+uoMu(x，u0’0)+Pu。M，(z，‰0)、=(一△+P)-1If＼0Ⅳ(z，uo，0)一t+P／14 由于At是紧算子，因此Lt也是紧算子．又因为当t∈(o，11时，易证1不是L￡的特征值，(uo，o)为算子A￡的孤立不动点，所以有indexE(厶，(o，o))=(一1)一我们可证也没有大于1的特征值．这是因为，如果A>1为厶的特征值，取对应特征向量为(妒，≯)，其中妒，≯≠0，且sup。∈而咖=1，sup。∈A≯=l_贝0Lt(妒，咖)T=A(咖，≯)丁，引入(1．3．8)式，有(一△+P)一1(N(x，“o，0)一t+P)咖=A咖整理，得△≯+；Ⅳ(X，U0,o)≯=(P+xt一；P)咖．由假设A>1，可得算子△+1N(x，uo，o)有特征值p=P+{一女P>0，所以第一特征值A1(△+{Ⅳ(z，“o，o))>0．但是，由第一特征值的变分，我们可得到^1(A+{Ⅳ(z，uo，o))s0．这是因为，由A1(△+Ⅳ(。，uo，o))=0，得／(△+N(x，Ⅱo，o))叩·rldx≤0，其中”为任意可取函数．对积分式如N(x，UO，o)q-?dx分部积分，并整理有，nⅣ(z，UO，o)q·,Tdx≤如IVql2dx+厶nb(z)q2dssA(如IV卵12如+Bnb($)叩2ds)=^，n一△q·q如．所以得／(△+{Ⅳ(。，uo，o))q·,ldx≤0．JIZ^即^1(△+{Ⅳ(z，?tO，o))≤0，算子△+女Ⅳ(z，?tO，o))的所有特征值都不大于0，与p>0矛盾．所以A>1不是厶的特征值．因此，当t∈(0，1]时indexw(At，(?tO，o))=1．因为(uo，0)是算子AtO∈[0，1])的孤立不动点，所以在D7内可取(UO，0)的某个邻域U，使得在观，上A没有不动点．于是利用度的同伦不变原理可得indexw(A，(“o，0))=indexw(&，(?to，o))=1这就完成了引理1．3．5的证明．类似于引理1．3．5的证明可证下面弓I理成立．引理1．3．6如果Al(△+M(x，0，"o))=0，那么或者(1．1．2)有严格正解，或者indexw(A，(0，"o))=1．15 §1．4非负解的存在性这一节中我们将不动点指数计算方法运用于讨论带扩散项的捕食系统解的性质，即平衡解的存在性．具体说来，对于系统(1．1．2)利用算子A在有界区域D，上的不动点的指数得出下面结论．定理1．4．1假设系统(1．1．2)满足条件(H1)(H2)，则对任意z∈弃，(1)当M(x，0，0)≤^1，N(x，0，0)≤Al时，系统(11．2)非负解仅有零解；(2)当N(x，0，0)>At，M(x，0，0)≤Al时，系统(1．1，2)的有分量为零的解只有(0，o)，(0，uo)，若A1(△+M(。，0，vo))>0，系统(1．1．2)至少还存在一个正解；(3)当M(x，0，0)>A1，N(x，0，0)sAl时，系统(1．1．2)的有分量为零的解只有(0，o)，(uo，o)，若^1(△+Ⅳ(z，uo，o))>0，系统(1．1，2)至少还存在一个正解；(4)当M(x，0，0)>AhN(x，o，0)>Al，且A1(A+M(x，o，”o))与A1(△+Ⅳ(z，“o，o))同号，即同正、同负或同为零时，系统(1．1．2)除有解(0，o)，(U0，o)，(0，”o)以外至少还存在一个正解．证明(1)当M(x，0，0)≤A1(V。∈回时，假设方程(1．1．2)有非负解(u’，∥)．可证或∥>0或t，三0．若u’>0，则由条件(H2)(1)，有0=△√+u’^彳∞，t上’，”’)≤Au’+u'M(x，u’，o)，z∈n．所以u，为方程(1．2．4)的一个正的下解．另外q为一个上解，且有“’≤Ct，。∈孬．于是方程(1．2．4)有一个正解u+，使得u7≤u+s研，。∈丽．与引理1．2．3矛盾．故此时u『-0，进而当Ⅳ(。，0，0)≤Al时，可类似得到矛盾，所以结论(1)得证．根据引理1．3．2，我们得到indexw(A，D’)=1．(2)如果M(2，0，o)≤A1(V正∈丽)，由引理1．2．3易知，方程(1．1．2)没有形式为(u，o)的解，其中“>0．Ⅳ(q0，o)>Al(Vz∈再)，由定理1．2．2可得，有分量为零的解只有(0，o)，(o，"o)．又由引理1．3．1有当A1(△+M(。，0，uo))>0时，由引理L3．4有indexw(A，(o，如))=0．于是得到indexur(A，D’)≠index¨，(A，(0，o))+indexw7(A，(0，"o))16 所以在D’上至少还存在一个正解．当Al(△+M(x，0，vo))<0时，由引理1．3．4，有indexw(A，(0，V0))=1．则indexw(A，D’)=indexw(A，(0，o))+indexw(A，(0，”o))，按此方法无法判断正解是否存在；当Al(△+M(x，0，”o))=0时，由引理1．3．6可得，若indexw(A，(0，V0))=1，依然无法判断正解是否存在，若为引理1．3．6的另一结论，知系统(11．2)存在正解．综上所叙，我们不能确定正解是否存在．(3)类似于(2)的证明，可得系统(1．1．2)的有分量为零的解只有(0，o)，(uo，o)，当Al(△+N(x，uo，o))>0时，由引理1．3．3有indexw(A，(“o，o))=0，则indexw(A，D’)≠indexw(A，(0，o))+indexw(A，(?Zo，o))．在D’上系统(1．1．2)至少还存在一个正解．(4)当M(x，0，0)>A1，Ⅳ(z，0，0)>A1(V。∈孬)时，由引理1．3．1(1)，可得indexw(A，(0，o))=0，根据引理1．3．3，1．3．4，1．3．5以及引理1．3．6知，对^1(△+M(x，0，vo))和Al(△+Ⅳ(￡，t‘o，o))进行讨论．(i)同正，则indexw(A，(?tO，o))=0，indexw(A，(0，uo))=o；(ii)同负，则indexw(A，(uo，o))=1，indexw(A，(0，”o))=1；(iii)同为零，则有两种可能情形：1)系统(1．1．2)存在正解；2)indexw(．4，(u0，o))=1，且indexw(A，(0，咖))=1，若(iii)中1)成立，即证明了系统(1．1．2)至少还存在一个正解．若(ijj)中2)成立，与(i)(ii)一样，都有indexw(A，(0，o))+indexw(A，(“o，o))+indexw(A，(0，咖))≠indexw(A，D，)因此，系统(1．1．2)当M(z，0，o)>^1，Ⅳ($，0，0)>Al，且A1(△+M(z，o，口o))与A1(△+Ⅳ(z，Uo，o))同号时，至少还存在一个正解．证毕．17 第二章平衡系统的分支和稳定性§2．1引言众所周知，研究非线性动力系统初边值问题，其中一个重要内容就是平衡解的结构，而稳定性的研究是人们讨论各类动态系统所面临的最基本最重要的问题之一．生态学中捕食一食饵系统，特别是具有扩散项的捕食模型，人们运用反应扩散方程理论得到了许多结果，如解的存在性【5】【13_14】【23≈8】、解分支111-14]116-19】、解的稳定性[16--19l【23]【21等等．文[14]的第三节讨论了经典的Volterra-Lotka捕食．食饵模型(o．1．1)在齐次Dirichlet边界条件下的正解的存在性．文中所用方法为解耦法(decouplingmethod)和整体分歧理论技巧，分别以al，a2为分歧参数讨论了在一定条件下的分歧解存在，从而得出正平衡解的存在性的结果．类似讨论如[16]等．另外，文【13]也利用分歧理论给出了一类具有饱和项(saturation)或Holling-Tanner项的捕食系统(O．1．2)的正平衡解的存在性，对该类模型更多讨论有如【5][26]等．其中文【27]还运用比较定理及线性化算子理论讨论了平衡解的稳定性等．这一章我们试着对一类推广的捕食．食饵模型运用度理论方法，主要为分歧理论和稳定性理论[11-121【17l，讨论其平衡系统的分歧及其正平衡解的稳定性等性质．§2．2先验估计考察模型¨t(石，t)一Au(x，t)=uM(x，u，")，z∈Q，t>0，仇(z，t)一Av(x，t)=vN(x，u，")，X∈n，t>0．的平衡态方程{一--△u：=AVv洲N(‘u糍：：：：(22．1)1一=，")，z∈n．”⋯7该模型可视为一类推广的生态模型平衡态系统，由M，Ⅳ取法不同会得到不同的生态系统，如文[24]讨论的是互助模型，文[25]讨论了两类竞争模型．而对于捕食模型人们对形为(2．2．1)的模型讨论不是很多，主要是因为该模型的解的先验估计不容易得出．在这一章里，我们给出了适当的条件成功的得到了解的先验估计，然后试着讨论了半平凡解附近解的一些性质．18 首先我们给出模型(2．2．1)作为捕食-食饵模型的平衡态系统的条件．设n为R“m≥1)中边界光滑的有界开区域，边界条件为齐次第三边值条件是+6(。)“=0．舞+b扛)"=0，。∈D鸵．b(x)≥0．≠o(z∈an)在豆上，M，N∈C1(R+×R+)，M(O，0)>0，且％S0，≠0，Ⅳu≤0，≠0，即在系统(2．2．1)中，“，u分别为被捕食者、捕食者的密度函数．为了得到先验估计，我们假设(H。)：(i)当u，”>0时，眠(“，0)<0，眠(0，口)<0．(ii)存在常数C1>0，Q>0，当u>C1时，M(u，0)岛时，Ⅳ(q，u)<0．(iii)当u，u>0时，M(0，w)≥M(u，u)，N(u，0)≥Ⅳ(u，")．根据条件(Hz)，用极值原理易得系统(2．2．1)解的先验估计，以及半平凡解的存在唯一性．引理2．2．1如果(u(z)，口(z))是系统(2．2．1)的非负解，则00，z∈豆．这是因为，如果存在zB∈豆，使得u(zo)=0，则X0∈0f1．要不然，X0∈Q，由极值原理【2l】，有uE0(z∈丽)，产生矛盾．但是，若X0∈鲫，由Hopf边界引理有舞I。：。。<0与边界条件爱+b(z)uI；：。。=0矛盾．同理可证，若"≥0，≠0，则v>o，z∈孬．下面证明“≤G，口SQ．用反证法．假设存在X,0∈菇使得u(xo)=m“万t‘(。)>Q．若zo∈n，则Au(xo)≤0．但是，由条件(rh)(ii)得au(zo)=一u(zo)M(t‘(zo)，口(。o))≥一u(zo)M(u(zo)，0)>0，产生矛盾．若zo∈Off，因为u(善)∈G(丽)，锄具有内切球性质，所以可在zo的一个E一邻域U+(zo，E)=U(xo，e)n孬c豆内取过知的内切球曰，使得在B内u(z)>C1，由(H1)(ii)得一△u=uM(u，")SuM(u，0)墨0，再由Hopf边界引理，得堡锯旦l>0，与边界条件鱼掣+b(zo)“(。o)=0矛盾．假设存在∞o∈丽，使得v(xo)=max瓦v(x)>岛．若xO∈n，则Av(xo)≤0．但是，由条件(H1)(ii)得Av(xo)=-．(xo)N(u(xo)，u(。01)≥一"($o)Ⅳ(Orj口(go))>0，产生矛盾．若。o∈an，类似前面推导得出矛盾．于是证得结论成立．引理2．2．2如果豆上，U(0，0)>A1，N(0，0)>A1，那么系统(1．1)存在两类半平凡解的唯一解(uo，o)，(o，如)，且00，supz∈-xl(。)=1．因为uo>o，(uo，0)为(2．2．1)的解，容易得到A1(△+M(uo，o))=0，又根据条件(H1)(i)，uoM。,(uo，0)<0，于是Al(△+M(uo，0)+uoMu(uo，o))<0，算子A：=△+M(uo，0)+uoMu(uo，0)可逆，故存在唯一的函数"1=一uoA一。My(uo，o)xl满足第一个方程．故算子L(1，t‘o，0)的核空间N(L(1，UD，o))=spans{(wl，x1))，所以dimN(L(1，TZ0，o))=1．设算子L(I，Uo，0)的伴随算子为L+(1，uo，o)，可知观‰。)=(“川。u删o,O)+‰u铲∞0j01△+‰。))则由L+(1，UD，0)("，X)=(0，o)，易得(W，)()=(0，x1)．故N(L‘(1，uo，0))=spans{(0，)(1))．由Fredholm选择公理，我们有R(LI(1，U0，o))={(Ⅲ，x)∈E：矗XXldx=o)．所以codimR(L(1，I*0，O))=1，令L’(1，“o，0)：=D^D(。，。1F(1，uo，o)，经运算上，(1，Zt0，o)("1，x1)=(0，N(uo，o))(1)，易知L”，uo，o)(”1，)(1)FR(L(1，uo．o))于是，由分歧定理f11]可得下面结论． 引理2．31如果Al(△+Ⅳ(uo．o))=0，F(A：％u)：0在(1，¨o，0)点处产生分歧．即存在0<㈦《l，6>0，以及C1函数(A，A妒)：(一dj6)-}_RXE，满足(i)A(o)-1；(ij)ii妒(o)=妒(o)=0，≯(s)，妒(s)∈z．其中z=(N(L(1，U0，o)))1，(iii)F(A(s)，“(s)，口(s))=0，这里u(s)=UO十s(wl+≯(s))，v(s)=s(xl+妒(s))，进一步可得，在(1，“o，0)得任何邻域内，使得F(A，“，”)=0的C1函数或者是(A(s)，“(s)，"(s))，或者是(^，‰o)，其中实数A属于实数1的某个小邻域．显然，系统(2．2，1)就是F(A，u，。)：0，当A=l时的情形．由妒(s)∈C1(n)，存在d>0，使得当0<80，同样也有"o+s(wl+≯(s))>0，即系统(2．2．1)存在正解．定理2．3．2如果M(O，0)>^1，且A1(△+N(uo，o))=0，又系统(2．21)满足(H1)，那么在(uo，0)附近存在正解(u，")，且u(8)=uo十s(wl+咖(s))，v(s)=s(x1+妒(s))，其中00，sup￡E而Xl(X)=1，Wl=一UOA一1％(uo，o)x1≤0，这里A=△+M(uo，0)+U0蛆；(“o，0)为可逆的负算子．类似上面的推导，系统(1．1)在半平凡解(0，”o)附近也有相应结论．定理2．3．3如果N(0，0)>^l，且A1(△+M(0，vo))=0，又系统(2．2．1)满足(H1)，那么在(0，V0)附近存在正解("，")，且u(8)=s旧l+≯(s))，v(8)=vo+s(戈l+妒(8))，其中00，sup。∈孬西1($)=1，元l=～voA一1』V0(o，vo),21S0，这里A=△+N(0，V0)+咖风(o，”o)为可逆的负算子．§2．4解的稳定性这一节我们主要讨论系统在(uo，0)、(0，”o)附近正解的稳定性情况．令x。=[G2’口(回】2NX,Y=[C2,a(豆)】2(o<口<1)，i：x-÷y是一个内射，因为N(L(1，it0，o))=spans{(wl，x1)}，且R(L(I，％t0，o))={("，x)∈E：是xxldx=o}．则i(∞l，x1)=("l，x1)．由于如x}如≠0，故i(wl，瓢)gR(L0，“。，o))．由定义[17]可得性质2．重10是L(1，“o，0)的i一单重特征值．另外，对于算子L0，uD，0)的所有特征值，我们有下列引理．引理2．420是L(1，”o，o)的实部最大的特征值，其它特征值位于左半复平面上．证明令Ll=△+Ⅳ(“o，o)，则由Al(△+N(uo，o))=0知，0为Lo的主特征值．假设^o为二(1，uo．o)的实部最大的特征值且Re(^o)>0，(屯妒)为相应的特征21 函数．则L(t，tLO，o)(西，妒)=^o(币，妒)，即△≯+(M(uo，0)+t‘oMu(¨o，o))币+"IL0^如(“o，O)妒=Ao咖，z∈Q，△币十N(uo，0)中=^o咖，z∈Q，舞+6(z)≯=0，辫+6(z)妒=0，z∈an．如果咖三o，则由^l(A)=^l(△+M(uo，o)+uoM。(uo，o))0与^l(△+Ⅳ(“o，o))=0矛盾，故引理结论得证．由文[20]中推论1．13和定理1．16直接可得引理2．4．3若0是L(1，uo，0)的i一单重特征值，则存在实数Ao和0的邻域内的R-÷R×X的G1函数A'÷(一r(A)，c厂(^))：=(7(A)，(u(A)，"(A)))，s矗÷(q(s)，矿(s))：=(卵(s)，(“(s)，"(s)))．使得(-y(1)，矿(1))=(0，("1，x1))=(q(o)，y(o))，且L(A，uo，o)矿(A)=7(A)u(A)，lA一1I《1，L(^(s)，u(s)，口(s))y(s)=_(s)矿(s)，}s}《1．(这里L(A，uo，o)，L(A(3)，“(s)，"(s))为F(^，u，")在(A，uo，o)，(A(8)，“(s)，"(s))的线性化算子)并且有一(1)≠0，另外，在13点附近若≈(s)≠o，则有lira。。o丛黯产=～1．即当00．由方程三(A，uo，o)U(^)=7(A)u(A)得Au+(M(uo，0)+钰o．^气(“o，o))珏+“o．％(“o，o)哲=7(A)社，z∈Q，由}A一1l《1，及7(1)=0，知A充分接近l时，J，y(^)J《1．如果"三0，由A1∽一7(A))<0，则”=0，矛盾．因此，"≠0，蕴涵着7(A)为以：=△+^Ⅳ(“o，0)的特征值，又因为xl>0，可知7(A)为以的主特征值，即A1(△+AⅣ(z，UO，o))=7(A)．因Ⅳ(z，uo，0)>0，所以，jA一1I《1时，，y(A)关于A是增的，又71(1)≠0，所以1”)>0．下面我们讨论当0<㈦《l时A如)的符号．方法是首先判断A，(o)的符号，再由连续性确定Ⅳ(s)的符号．对于^，(0)符号的判定有下列引理成立．引理2．4．5A(s)在s=0处的导数A，(o)满足下列等式A’／o／厶)(iⅣ(u。，O)dz=一JnNI(“。，o)x；(tul+x1)8z·其中Ⅳ’(¨o，0)：=n‘(uo，0)+Ⅳj(uo，0)．22 证明将(A(s)，u(s)，”(s))代入(11)第二个方程，先除以s再对。求导，然后令s=0，得△妒7(o)+A’(o))(1Ⅳ(uo，o)+币’(o)Ⅳ(“o，o)+N0(t上o，o)x1W1+Ⅳ。(¨o，o)x；=0其中∥(o)表示妒(s)在s=0时关于s的导数．对上式两端同时乘以xl，并在Q上积分，得如x1△妒’(o)+Ⅳ(o)如x21N(uo，0)+J1nx1妒’(O)N(uo，0)+如叫l疋}』V≥(铷，0)+矗x3』％(uo，0)=0．由格林公式并结合边值条件可得1’(0)InX；N(“。，o)+厶吣i虬(u。，o)+厶)(i眠(“。，o)=o．将等式左边第二、三项合并即得引理中的等式．令I：=如N’(uo，o)xi㈣l+xOdx，由于N(uo，0)>0，则岛xiN(uo，O)dx>0，所以，若J<0，Ⅳ(o)>0，从而当00，利用引理2．4．3可判定q(s)<0．同样方法，若』r>0，可判定q(s)>0．由文[17】中引理13．7可知，在(1，'U0，0)附近，F(A，％")的线性化算子二(^，u，口)可视为对F的一个小扰动，因此可以通过讨论算子三(A，”，”)的相应性质来确定F在(1，uo，0)附近的性质．由上面的讨论我们可以直接归纳出下列定理．定理2．4．6如果U(O，0)>Al，A1(△+N(uo，o))=0，且满足(H1)，那么(a)如果J<0，那么在(1，uo，0)附近F(A，‰”)的线性化算子L(A(s)，u(s)，”(s))的最大特征值q(s)<0，所以系统(1．1)在(uo，0)附近的正解(u(8)，"(s))是稳定的；(b)如果J>0，那么q(s)>0，正解(u(8)，"(s))不稳定．依照上面方法类似可讨论定理2．3．3所得到的正解的稳定性．首先我们定义算子P(u，u，")：=(AU+#uM(u，")，Av+vN(u，"))，然后讨论在(I，0，VO)处的线性化算子L(1，0，口o)的相关性质．令j：=如M’(o，咖)面}(吼+x1)dx，这里我们设定M’(O，v0)：=眠(o，uo)+％，(o，V0)，可归纳出以下结论．定理2．4．7如果N(0，0)>Al，^1(△+U(0，uo))=0，且满足(H1)，那么(a)如果j<0，那么在(1，0，”o)附近声(^，u，”)的线性化算子三(^(s)，u(s)，”(s))的最大特征值日(s)<0，所以系统(1．1)在(0，'00)附近的正解(u(s)，”(s))是稳定的；(b)如果j>0，那么日(s)>0，正解(“(s)，"(s))不稳定．23 值得一提的是，J=0或j=0时，以上方法不能用．下面给出本文的讨论方法的应用举例．在n=(0，1)上的～类模型f—u”=u(1一“一"2)，0<。<1，{一u”=v(1+“3一")，0<。<1，(2．41)I器+b(。)u=o，器+b(z)"=0，z=0，1其中，取6(z)=X2扛=0，1)，边值条件可改为“，(0)=0，u'11)4-“(1)=0，”，(0)=o，口『(1)4-v(i)=0．这里，M(u，")=1一u—V2，Ⅳ(u，V)=14-u3一"，则M(0，0)>0，当u>1时，M(％0)=1一“22时，N(1，")=2一口<0，当u，"≥0时，有^乱(u，0)=一1<0，gdo，V)=一1<0，M(0，V)2M(u，")，Ⅳ(u，0)≥Ⅳ(“，")，于是系统满足(H1)．那么由引理2．2．1和2．2．2可得，系统(2．4．1)存在两类半平凡解的唯一解(Ⅱo，o)，(0，口o)，其中0Al，记Alu：=t‘”，△1口：=∥，利用定理2．3．2和定理2．3．3，当A1(Ai4-M(0，vo))=Ai(Ai+1一口3)=0，^l(Zli4-N(uo，o))=^1(△1+l+u部=0时，系统(2．4．1)在(“o，o)，(0，％)附近存在正解．接下来讨论正解的稳定性．易知Ⅳ’(uo，0)=3u3>0，M’(o，V0)=--2vo<0．为确定j，j的符号还需讨论("1，X1)，(西1，元1)的情况，由前面证明可以得到，xl>0，面1>0，且("1，x1)，(西1，魍)分别满足方程{笋：f11；裂并0’∽a纠1x”+(+t上8)x=，Pp叫和{男jfll二2培vo徊)更≥0(2a．3)1秽+(一=．⋯⋯⋯将(2．4．2)中两方程相加，(Wl，Xi)代入并整理得("l+x1)”+(1—2uo)(w1+)(1)=一uo(2十嵋)xl<0，这里因为h(△l+1—2uo)<^1(△l+1+u3)=0，则算子△l+l一2uo为可逆负算子，故("1+x1)>0，于是J=詹N’(uo，o)x{(Ⅲ1+x1)dx>0，所以由定理2．4-6得系统(24．1)在(uo，o)附近的正解不稳定．将(2．4．3)中两方程相加整理得(面l+戈1)”4-(1—2vo)(西l4-戈1)=一vo(2一”o)西1<0 由^1(△1十1—2vo)0，则算子△l+1—2uo为可逆负算子，故j：=止M即，"o)面}(西1+Ylt)dx<0．利用定理2．47可得系统(24．1)在(0，Vo)附近的正解是稳定的． 第三章周期捕食食饵系统的正周期解§3．1引言这一章我们对周期系统(o．1．3)或模型(o．12)所对应的周期系统进行合理的推广，得到了周期捕食．食饵系统ut—dl(t)△u=u(F(x，t，“)一G(茁，t，"))，z∈n，t∈R，仇一d2(t)Av="(^彳∞，t，")+Y(x，t，u))，z∈n，t∈R，，q11、Bu=0，By=0，z∈an，t∈R，、“17u(o，0)=u(z，T)，v(z，0)=v(x，T)，z∈f2．这里n为Rn中有界区域，边界光滑，d1，d2是严格正的T一周期光滑函数．B=O／On+r(z)，o／on表示单位外法线的方向导数，r(z)2o(z∈oa)，即Neumann—Robin型边值条件．同时我们假设(H1)函数F'G，尬N为T一周期光滑函数，且在f2×R上F，M分别为u，"的严格减函数，F(z，t，0)>0，M(z，t，0)≤O；G，N分别为”，u的严格增函数，G(z，t，0)=0=Ⅳ(。，t，0)．接下来利用周期抛物型算子理论[38】，Schauder估计[39】和局部分歧及整体分歧理论[17][191讨论了系统的正周期解的存在性，主要结果是定理3．4．3．§3．2线性抛物型算子记Qr：=n×[0，T】，令00．如果选择％充分大，使得对所有(。，t)∈虿T，q(x，t)+k>0．类似文献[38]中定理2．2的证明可得，Lk=L+k是一个闭算子，其逆是正的紧算子，有正的谱半径．由kreinRutman定理，相应于一个正的特征函数，Lk有一个正的特征值·因此，L有主特征值记为Al(q)，它的特征函数是正的． 与线性抛物型算子L相联系的是线性发展算子(evolutionoperator)【Ⅲ．，)使得u(t，"r)uo=u(·，t)，这里u为下列方程的解Ut—dAu+qu=0，。∈Q，t>丁：u(x，r)=uo(z)，z∈n；舞+r(。)u=0，z∈an，t>T记巩为风的发展算子，如果X+={u∈C1(葡)：舞+r(。)“=0，z∈an}，则当t>r时，巩(t，r)：x+_÷x+是紧算子．由极值原理可知，如果在萄'上k+q(x，t)>0，则uk(t，r)在x+上是强的正算子，即如果U>0，则vk(t，r)》0．因为u(t，T)=ektvk(t，r)e“7，可推出u(t，r)具有相同性质．同样地，令K：x+．÷x+，K=U(T，o)，Kk=Uk(Lo)．Ⅳ和玩在x+上均是强正紧算子，有一个正的特征向量记为71(q+％)．如果71(q)为K的主特征值，对应特征函数uo>0，那么u(t)=emu(t，O)uo为L的主特征函数，是正的，对应的主特征值为Al(g)=p=一(1／T)lnTl(g)．引理3．2．1假设“∈Y，u>0且(L—A)u>0，则^0；u扛，0)=uo(x)由常数变异法得u=uo(t，O)uo+／u二^(t，s)h(s)ds(3．2．2)J0因U-^(t，8)为强正算子，上式仅当uo>0时，才可确定u为严格正的，所以uo>0．由“为T一周期函数，u(·，T)=?tO，因此由(3．2．2)有rT(J—K—x)u0=／U-s,(正s)h(s)ds>0，。∈n．J0因为uo(z)>0，由强正紧算子理论可得，n^的谱半径‘／l(q—A)<1．所以Al(q)=^+Ax(q—A)=A一1／Tln71(q—A)>A．引理3．2．2假设q1，q2∈X，且q1<92，那么有Al(q1)<^l(92)．证明令L。=岛一d(t)A+q。，取也表示厶的主特征值)q(qi)对应的主特征函数，且也>0．则L2≯1=Ll咖1+(q2一q1)≯1>A1(q1)庐l于是(L2一Al(口1))≯1>0，另外咖l>0．所以由引理3．2．1得A1(q1)o，存在N∈N使得对任意n>Ⅳ，一切(文￡)∈虿T有g(z，t)一EN都有Al(g)一E≤^l(‰)≤．A1(g)+￡．命题得证．§3．3单个方程情形我们考察方程fut—d1(t)Au=uF(x，t，“)，(。，t)∈Qr；{(3．3．1)【u∈F引理3．3．1如果Ⅱ为(3．3．1)的非负非平凡解，即u(x，t)≥0，≠0，那么在Q×R上，u0，t)>0．证明选择k>0，使得在刁0内W_÷wF(x，t，")+kw为增函数，且0stf，≤ii2axu(x，t)，那么ut—da(t)Au+ku=uF(z，t，u)+ku≥0，(。，t)∈0T因u(z，0)≥0，≠0，由极值原理得u(。，t)>0，(z，t)∈QT．如果存在(2，习∈aQr=抛×[01列，使得u(岳，刁=o，由hopf边界引理可得雾眩D<0与边值条件矛盾．因此，在萄0上有u(z，t)>0．又因为u(．，t)=u(．，t+T)=u(．，t—T)，所以对任意(。，t)∈QxR有t‘(z，t)>0．定理3．3．2^l(一F(。，t，o))<0是方程(3-3．1)存在正解的充要条件，并且若正解存在必唯一。证明必要性令Lo：=岛一d1(t)△一F㈦t，0)为定义在x上的一个线性算子，若(3．3．1)有正解≈，则Lou=(F(x，t，“)一F(缸￡，o))"o为其对应的特征向量．那么，当￡>0充分小时，可使得L00咖)=Al(一F(z，t，0))E咖=(F扛．t．≯)一F∽，t，o))E妒S(F(x，t，￡≯)一F(x，t，o))E咖．28 因此，E≯为(331)的一个下解，取M为一个充分大正常数，使得对QT内所有(z，t)有F(z：t，M)MS0，则u=M为(3．3】)的上解．由Arnann[301知存在解“，使得E≯≤U≤M根据[19]定理3．4．6及后面的注，我们可构造迭代序列并取极限得￡≯与M之间存在唯一解u(z，t)，且因F(x，t，u)充分光滑，对于，：=uF(z，t，u)有簇∈c(讨_×R)，则方程(3．3．1)存在唯一正解u(z，t)，且0<￡≯Su≤M．下面我们给出(3,3．1)的正解的一个先验估计．引理3．3．3假设u是(3．3．1)的正解，那么存在常数M，使得uIIG2“l+小(爵)≤M证明因为对任意的初值uo，充分大的正常数a可作为(3．3．1)的一个上解，则11u11G(磊)≤C1．容易看出方程(3．3．1)满足【39】定理2．2中假设，故由【39]定理2·4可知存在连续函数7及g使得⋯d“(1+一)／：(磊。，)≤'7(1l"llccoT})≤g(1luF(x，t，'-')llcc虿。，))其中QT,2T=nxIT，2T]．因此IIullct机(-川／z(百，∞)有界，从而⋯lc梆Hm(-”，)也有界．又u为T一周期函数，11“11C2+m]制。(爵)=llullc。机-w。(_T。)，所以存在常数M使得IIullcz+一，l+一／。(虿，)≤M·引理3．3．4在孬×R上，Al(～F(x，t，o))<0是方程fut—D(t)Au=u(F(x，t，t‘)一日(。，t，"))，{(3．3．2)【u∈y．存在正解的充要条件．其中函数F为(H1)所定义，D(t)∈C'／2(R)且是严格正的T一周期函数，H为X上u的连续增函数，且H(x，t，0)=0．证明必要性类似定理3．3．2易证．下证充分性．假设A1(一F(z，t，O))<0，选择某一个固定的充分大的常数r,O>0，使得(z，t)∈QT时，坛。一F(x，t，0)>0．考察方程fu￡一D(t)△u+(￡o—F(x，t，o))“=,ku一(F(x，t，0)一F(x，t，u)+日(z，t，u))u，i一㈤。㈦ 写成算子形式，即u=ASusX(u)，或，(^，u)=“一ASu—sⅣ(u)=o．其中S：X-÷y表示算子￡毫：=伉一D(t)△+(￡o—F(￡t，o))的逆，因尼。一F(z，t，0)>0，由前面推导知5是紧线性算子．记i=Al(]Co—F(x，t，o))，则1／X为5的主特征值，从而是单的．Ⅳ(H)：=(F(马t，0)一F(x，t，口)+旦(z，≠，Ⅱ))“是连续函数，故5Ⅳ：X-÷Y是紧的，显然IIN(u)IIx=o(1lullx)．由整体分歧理论【17][19】知，(i，o)为，(A，u)=0的分叉点．记妒为非零解集合的闭包，则|p包含一个过(-，0)的最大子连续统a并且Q在豆×R上无界或G交u=0于(i，o)，而1／i为s的另一特征值．另外，我们令LoCX，o)u=D2／(X，o)u=u一砧u，L1(A，o)“=D1D2，(A，o)“=一S“．由Lo(i，o)“=0，得撕一D(t)△“+(‰一F(。，t，o))u=黾，由于X为主特征值，故存在“=uo>0为其对应的特征函数，所以核空间N(LoCX,o))=spans(uo}是一维的．又因为三o(i，0)为线性算子，是自伴的，根据Fredholm选择公理知，兄(Lo(i，o))=(Ⅳ(工；(i，o)))上=(N(Lo(X，o)))上={ul／uuo=o)的余维数为1，显然，Ll(-，o)uogR(Lo(X，o))．由局部分歧理论f17J可知，，(A，n)=0在点(i，0)分支出一个连续统C={(A(8)，u(s))I“(8)=s(tlo+≯(s))，18lo充分小，G1一曲线(A，≯)：(一芪6)．÷R×z(z=扣o)上)满足A(o)=i，≯(o)=o，，(^(s)，u(s))=0．令ln+：=C～t(^(s)，a(uo+西(s)))：一do，(z，t)∈萄0}，则c、一<(i，o)}匡P_由Schauder估计及Sobolev嵌入定理，⋯I在C2，1(虿T)上是一致有界的．存在数列{(h，Urn))cG+nP使得其极限为(^，o)．因为紧算子s的谱是离散的，0是其唯一可能的极限点，所以算子c‘的谱点在工与i之间只可能是有限个．故存在充分大的mo，使得当m>mo时，k=i．这时u。满足方程lum￡一D(t)LXum+(／Co—F扛，t，o))u。=A“。，(z，t)∈0T，{．(3．3．4)【‘著}+r(z)Ⅱm=0，(z，t)∈aQx[0，卅同样由Schauder估计及Sobolev嵌入定理，存在{u。}的一个收敛子列仍记为(u。}，使得u。_÷u+(m-÷+。。)，且u+≥0，≠o(x，t)∈孬T．对方程(3．3．4)取极限得lⅡ+t—D(t)ZXu++(Eo—Fx，t，o))u+=^"+，(z，t)∈Qr，{【鲁}+r(z)u+=0，(z，t)∈an×[o，T]．由极值原理得，u>o((z，t)∈碥)，从而i=X产生矛盾．所以cI满足l。即q在丽XR上无界．类似引理3．3．3或文130][39]的讨论，由方程(3．3．3)易知㈦fG(百，)有界，存在连续函数g’使得t‘IIc-+“l+们，。(虿T．。T)≤矿(I『(A一／Co+F(z，t，u)一日扛，t，u))t正llG(百：T))因为H(x，t，“)是u的增函数，IIH(x，t，u)岷刁。，)可被依赖于恻lc(爵)的函数限定，又F(。，t，“)为u的减函数，故IIullc，¨(t¨，。(_T。，)可由一个依赖于A，Eo，maxF(x，t，o)的常数限定．类似于引理3．3．3的推导，任意解u具有标准Schauder估计㈣fc2“1+p／2(_T)≤M．其中M为依赖于^，咒o，maxF(x，t，0)的常数．综上所述，我们证得，(A，u)=0在A=i时，除u=0这个零分支外出现了正解分支C+一{(页，o))．并且由Schauder估计知正分支上的u是有界的．又因为u>0满足毗一D(t)ZX“+(咒。一F(。，t，0)一A)u=一(F(z，t，0)一F∽，t，u)+H(x，t，“))u<0得Al(_co—F(x，t，0)一^)<0，即A>i．因此cI位于A≥X的半平面上且仅当A_÷+o。时达到∞．所以对所有^>i=A1(一F(x，t，o))+Eo，特别当A=Eo时，方程(3．3．3)即(3．3．2)存在正解．证毕．31 §3．4方程组情形首先，为方便起见，记AⅦ(口)为特征值方程u￡一d：(t)Au+qu=Au，“∈Y(i：1．2)的主特征值．由定理3．3．2知道，方程{“I≥。’△u2uF‘z'屯“’’cs．t．-，有正解的充要条件为)~1，l(一F(。，t，o))<0，记其唯一正解为u+．显然，(u+，o)为系统(3．1．1)的一个解，这里我们称作半平凡解．引理3．4．1若系统(3．1．1)存在正解(“，")，即豆×R上，u》0且"》0，则有以下结论成立；(i)A1，1(一F(x，t，o))0，易得¨t—d10)△u—F(x，t，0)“=t‘(F(。，t，“)一F(x，t，0)一G($，t，”))<0，从而有A1，1(一F(x，t，o))<0．(ii)由“t—d1(t)△u=u∽($，t，u)一G(。，t，u))SuF(x，t，u)知u为方程(3．4．1)的一个下解，而任意充分大的正常数可视为(3．4．1)的上解，又由u+的唯一性，所以u≤“+．(iii)因为仇一d2(t)Av+(一M(z，t，0)一N(x，t，t‘))"=v(M(x，t，")一M(x，t，o))<0且¨S”+，由H1知，Ⅳ(。，t，“)为u的严格增函数，则有毗一d2(0Av+(一M(x，t，0)一Ⅳ(z，t，“+))"<0，又u>0，易得A1，2(一M(z，t，0)一Ⅳ($，t，”+))<0．为了得到系统(3．1．1)的正周期解存在的充要条件，我们将系统(3．1．1)的两个方程进行耦合．设”∈X，首先我们来考察第一个方程，变形为ut—dl(t)Au+(一F(z，t，0)十G(。，t，"))“=(F(z，t，“)一F(x，t，0))u，“∈Y(342) 类似定理3．2．2有，如果A1，1(一F(。，￡．o)+G(z，t，"))<0，那么(3，42)有唯一正解．于是定义山卜{唯三解就高搿煳糍㈦：引理3．4．2由上面定义，以下结论成立：，1(i)u(”)是x_÷x的连续函数；(ii)若Vl≤V2，贝0u(”1)≥u(v2)．证明(i)假设在X上”。_÷”，只要证得u(”。)_÷“(”)即可．我们分两种情况讨论．第一种情况，假设“(”)>0．由引理3．2．3，Al，1(一F(。，t，0)+G(。，t，Vn))_÷^1，l(一F(￡，t，0)+C(x，t，u))，当礼-÷+。0．那么由^1，1(～F(z，t，0)+C(z，t，u))<0有，n充分大时，A1，1(一F(z，t，0)+G(z，t，73n))<0，于是对于相应的n，我们有u("。)>0．令‰>0表示AⅥ(一F(z，t，0)+G(z，t，‰))的特征函数，且sup‰=1．由定理2．2易知毗一dl(t)Au+(一F扛，t，0)+G@，t，坼。))u=(F(x，t，“)一F($，t，o))“，“∈Y有下解r％，其中矿为某一取定的充分小的正数，任意充分大的正常数为一上解．因此方程唯一正解“(”。)必在上下解之间，故u(”。)≥矿‰．于是对所有n，supu(‰)≥E‘>0这样supu(”。)被限制在了远离0点的区域，从而u(”。)没有收敛到0的子列．反设u(‰)在x上不收敛到u(”)，那么存在一个子列不妨仍记为如(”。))位于u(”)某个邻域之外．由u("。)为方程“t—dl(t)Au=u(F(x，t，u)一c(x，t，'Un))，u∈y．的正解．由引理3．2．3知，“(u。)在俨协1十p／2(萄●)上一致有界，因而存在“(”。)的子列在C2，1(百T)内一致收敛于某个函数，记为q，那么q必然满足m—dl(t)Arl=rT(F(x，t，q)一C(z，t，”))所以q=“(”)与假设矛盾．于是u‰)_÷“(”)成立．33 第二种情况，假设u(")=0那么0为(3．4．2)的唯一非负解．反设u(u。)在E中不收敛于0，那么存在子列仍记为n(”。)在0点的某邻域之外．类似上面讨论可证u(vn)存在一个子列在C2-1(虿r)内一致收敛于某一个函数记为)(，且)(≠0满足方程(3．4．2)，从而与反设矛盾．所以u(u。)_÷om_÷+。。)，(ii)Vl兰啦，如果Al，l(-F(z，t，0)+G(z，t，啦))≥0，那么u№)=0，于是“("i)≥u(v2)．如果A1，l(一F(x，t，0)+a(x，t，v2))<0，那么Al，1(一F(z，t，0)+c(x，t，虮))<0，从而u(v1)，u(v2)都为正函数．由于u(口2)满足ut—dl(t)△u=u(F扛，t，“)一C(X，t，"2))Su(F(茁，t，u)一G(z，t，"1))，因此，u(”z)为方程ut—dlAu=u(F(。，t，钍)一a(X，t，u1))，u∈y：(3．4．3)的一个下解，显然，任意充分大常数可视为上解．又u(”1)为(3．4．3)的唯一正解必在上下解之间，所以u(vx)≥u池)．定理3．4．3在孬XR上，满足条件Hl的系统(3．1．1)有正周期解的充要条件是：(i)A1，1(一F(x，t，o))0为(3．4．4)的一个解，则必有¨(u)>0，否则仉一d2Av<0，产生矛盾．所以只需证明”>0为方程(3．4．4)的解即可．将(3．4．4)写成仇一d2△口="F(。，t，V)一n(X，t，")u，口∈y'(3．4．5)其中，(。，t，u)：=M(x，t，u)+Y(x，t，“+)，这里咒(z，t，u)：=N(X，t，“+)一Ⅳ(z，t，“("))，由于函数Ⅳ(z，t，u)为u的严格增函数，结合引理3．4．2(ii)，u(”)关于"是减的，可知n(x，t，")为增函数．当”=0时，易知u(口)=u(o)=u+，于是W(z，t，o)=0，因此“(z，t，")满足引理3．3．4的条件．(3．4．5)又可改写为Vt—d2Av+(一M(x，t，0)一Ⅳ(z．t，“+))"=(M(x，t，口)一M(x，t，o))"一“(。，t，v)v．34 由引理3．34及已知条件A1．2(一M(x，t，o)一N(x，t，“+))<0，上面方程或(3．4．4)有正解”存在．定理得证．注：本文结果只是得到了系统(3．1．1)正周期解存在的一个充要条件．我们讨论的线性化算子工是针对r(x，t，“)在零点的线性化，也可以取F在u为其它常数值时的线性化算子厶进而得到不同的充要条件，只是讨论起来肯定复杂一些． 总结本文对生态系统中的三类捕食食饵模型，分别讨论了平衡解的存在性，平衡解的稳定性和整体周期正解的存在性．文中所讨论的问题都是反应扩散方程理论研究的基本问题，通过比较新颖的泛函分析的方法，并结合其它微积分方法，微局部分析等得出了相应的结论，解决了作者拟定要讨论的问题．定理1．4．1给出了模型l的非负解存在的一些充分条件，这些条件具有很强的普适性；对于模型2，定理2．3．2和定理2．3．3通过构造分支结构得到了正平衡解的存在性，定理2．4．6和定理2．4．7得到了分支点附近的正平衡解的稳定性情况．定理3．4．3通过对模型3的讨论，得到了一个正周期解存在的充要条件，包含和推广了已有文献的结果．捕食食饵模型作为生态系统中的三大模型之一，具有非常明显的实际背景，研究生态模型，意义自然重大．文中所讨论的三类捕食系统都具有一般性，虽然研究时难度较大，特别是第一个模型，但研究符合实际，有利于指导人们更好地去认识自然，利用自然和保护自然．36 致谢感谢导师吴建华教授三年来对我无尽的关怀和教悔，本文是在导师的精心指导下完成的．吴老师勤奋严谨的治学精神和深入浅出的导学艺术给我留下了深刻的印象，导师耐心的引导和点睛般的教授常常让我豁然开朗，受益匪浅，也使我懂得了要踏实做人，勤奋求学，是导师的循循善诱和谆谆教诲将我引入了专业知识的殿堂．在此表示深深的谢意．感谢向我传授知识的老师：李艳玲副教授，吉国兴教授，曹怀信教授，畅大为副教授，袁凌涛教授，范丽老师等．感谢学院书记魏暹荪教授曾给我的难忘的关怀．另外，李艳玲老师给了我许多热情帮助，还有时时给我帮助和启发的博士师兄黑利军，同学张丽、聂华等，在此一并表示我衷心的感谢．由于作者水平有限，不足与疏漏之处在所难免，敬请各位老师批评指正，不胜感激．37谢强军2003年4月 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