反馈控制与极点配置1

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1、反馈控制与极点配置(1/5)4.2反馈控制与极点配置本节讨论如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性定常连续系统的极点配置,即使反馈闭环控制系统具有所指定的闭环极点。对线性定常离散系统的状态反馈设计问题,有完全平行的结论和方法。反馈控制与极点配置(2/5)对线性定常系统,系统的稳定性和各种性能的品质指标,在很大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。因此在进行系统设计时,设法使闭环系统的极点位于s平面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的极点,是可以有效地改善系统的性能品质指标的。这样的控制系统设计方法称为极点

2、配置。在经典控制理论的系统综合中,无论采用频率域法还是根轨迹法,都是通过改变极点的位置来改善性能指标,本质上均属于极点配置方法。本节所讨论得极点配置问题,则是指如何通过状态反馈阵K的选择,使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选择的一组期望极点上。反馈控制与极点配置(3/5)由于线性定常系统的特征多项式为实系数多项式,因此考虑到问题的可解性,对期望的极点的选择应注意下列问题:1)对于n阶系统,可以而且必须给出n个期望的极点;2)期望的极点必须是实数或成对出现的共轭复数;3)期望的极点必须体现对闭环系统的性能品

3、质指标等的要求。反馈控制与极点配置(4/5)基于指定的期望闭环极点,线性定常连续系统的状态反馈极点配置问题可描述为:给定线性定常连续系统确定反馈控制律使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭环极点也就是成立状态反馈极点配置定理(1/11)4.2.1状态反馈极点配置定理在进行极点配置时,存在如下问题:被控系统和所选择的期望极点满足哪些条件,则是可以进行极点配置的。下面的定理就回答了该问题。状态反馈极点配置定理(2/11)定理4-1对线性定常系统(A,B,C)利用线性状态反馈阵K,能使闭环系统K

4、(A-BK,B,C)的极点任意配置的充分必要条件为被控系统(A,B,C)状态完全能控。□证明(1)先证充分性(条件结论)。即证明,若被控系统(A,B,C)状态完全能控,则状态反馈闭环系统K(A-BK,B,C)必能任意配置极点。由于线性变换和状态反馈都不改变状态能控性,而开环被控系统(A,B,C)状态能控,因此一定存在线性变换能将其变换成能控规范II形。不失一般性,下面仅对能控规范I形证明充分性。状态反馈极点配置定理(3/11)下面仅对SISO系统进行充分性的证明,对MIMO系统可完全类似于SISO的

5、情况完成证明过程。证明过程的思路为:分别求出开环与闭环系统的传递函数阵比较两传递函数阵的特征多项式建立可极点配置的条件状态反馈极点配置定理(4/11)证明过程:设SISO被控系统(A,B,C)为能控规范I形,则其各矩阵分别为且其传递函数为状态反馈极点配置定理(5/11)若SISO被控系统(A,B,C)的状态反馈阵K为K=[k1k2…kn]则闭环系统K(A-BK,B,C)的系统矩阵A-BK为相应的状态反馈闭环控制系统的传递函数和特征多项式分别为状态反馈极点配置定理(6/11)如果由期望的闭环极点所确定的特

6、征多项式为f*(s)=sn+a1*sn-1+…+an*那么,只需令fK(s)=f*(s),即取a1+kn=a1*an+k1=an*则可将状态反馈闭环系统K(A-BK,B,C)的极点配置在特征多项式f*(s)所规定的极点上。即证明了充分性。同时,我们还可得到相应的状态反馈阵为K=[k1k2…kn]其中SISO系统状态反馈极点配置方法(1/10)4.2.2SISO系统状态反馈极点配置方法上述定理及其证明不仅说明了被控系统能进行任意极点配置的充分必要条件,而且给出了求反馈矩阵K的一种方法。对此,有如下讨论:1.

7、由上述定理的充分性证明中可知,对于SISO线性定常连续系统的极点配置问题,若其状态空间模型为能控规范I形,则相应反馈矩阵为K=[k1…kn]=[an*-an…a1*-a1]其中ai和ai*(i=1,2,…,n)分别为开环系统特征多项式和所期望的闭环系统特征多项式的系数。2.若SISO被控系统的状态空间模型不为能控规范I形,则利用线性变换将系统(A,B)变换成能控规范I形SISO系统状态反馈极点配置方法(2/10)对能控规范I形~进行极点配置,求得相应的状态反馈阵如下因此,原系统的相应状态反馈阵K为参见P

8、129SISO系统状态反馈极点配置方法(7/10)—例3例4-3已知系统的传递函数为试选择一种状态空间实现并求状态反馈阵K,使闭环系统的极点配置在-2和-1±j上。解1：要实现极点任意配置,则系统实现需状态完全能控。因此,可选择能控规范I形来建立被控系统的状态空间模型。故有SISO系统状态反馈极点配置方法(8/10)2.系统的开环特征多项式f(s)和由期望的闭环极点所确定的闭环特征多项式f*(s)分