反馈控制与极点配置

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1、6.2反馈控制与极点配置本节讨论如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性定常连续系统的极点配置,即使反馈闭环控制系统具有所指定的闭环极点。对线性定常离散系统的状态反馈设计问题,有完全平行的结论和方法。2021/8/13第6章线性系统综合对线性定常系统,系统的稳定性和各种性能的品质指标,在很大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。因此在进行系统设计时,设法使闭环系统的极点位于s平面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的极点,是可以有效地改善系统的性能品质指标的。这样的控制系统设计方法称为极点配置。在经典控制

2、理论的系统综合中,无论采用频域法还是根轨迹法,都是通过改变极点的位置来改善性能指标,本质上均属于极点配置方法。本节所讨论的极点配置问题,则是指如何通过状态反馈阵K的选择,使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选择的一组期望极点上。2021/8/13第6章线性系统综合由于线性定常系统的特征多项式为实系数多项式,因此考虑到问题的可解性,对期望的极点的选择应注意下列问题:1)对于n阶系统,可以而且必须给出n个期望的极点;2)期望的极点必须是实数或成对出现的共轭复数;3)期望的极点必须体现对闭环系统的性能品质指标

3、等的要求。2021/8/13第6章线性系统综合基于指定的期望闭环极点,线性定常连续系统的状态反馈极点配置问题可描述为:给定线性定常连续系统确定反馈控制律使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭环极点也就是成立2021/8/13第6章线性系统综合下面分别讨论:状态反馈极点配置定理SISO系统状态反馈极点配置方法输出反馈极点配置2021/8/13第6章线性系统综合6.2.1状态反馈极点配置定理在进行极点配置时,存在如下问题:被控系统和所选择的期望极点满足哪些条件,则是可以进行极点配置的。下面的定

4、理就回答了该问题。2021/8/13第6章线性系统综合定理6-1对线性定常系统(A,B,C)利用线性状态反馈阵K,能使闭环系统K(A-BK,B,C)的极点任意配置的充分必要条件为被控系统(A,B,C)状态完全能控。2021/8/13第6章线性系统综合6.2.2SISO系统状态反馈极点配置方法求反馈矩阵K的方法:1.对于SISO线性定常连续系统的极点配置问题,若其状态空间模型为能控规范II形,则相应反馈矩阵为K=[k1…kn]=[an*-an…a1*-a1]其中ai和ai*(i=1,2,…,n)分别为

5、开环系统特征多项式和所期望的闭环系统特征多项式的系数。2021/8/13第6章线性系统综合对能控规范II形~进行极点配置,求得相应的状态反馈阵如下因此,原系统的相应状态反馈阵K为2.若SISO被控系统的状态空间模型不为能控规范II形,则由4.6节讨论的求能控规范II形的方法,利用线性变换x=Tc2,将系统(A,B)变换成能控规范II形,即有2021/8/13第6章线性系统综合下面通过两个例子来说明计算状态反馈阵K的方法。例6-2设线性定常系统的状态方程为求状态反馈阵K使闭环系统的极点为-1±j2。2

6、021/8/13第6章线性系统综合解1：判断系统的能控性。开环系统的能控性矩阵为则开环系统为状态能控,可以进行任意极点配置。2.求能控规范II形:2021/8/13第6章线性系统综合3.求反馈律:因此开环特征多项式f(s)=s2-2s-5,而由期望的闭环极点-1j2所确定的期望闭环特征多项式f*(s)=s2+2s+5,则得状态反馈阵K为则在反馈律u=-Kx+v下的闭环系统的状态方程为2021/8/13第6章线性系统综合通过验算可知,该闭环系统的极点为-1±j2,达到设计要求。2021/8/13第6章线性

7、系统综合例6-3已知系统的传递函数为试选择一种状态空间实现并求状态反馈阵K,使闭环系统的极点配置在-2和-1±j上。解1：要实现极点任意配置,则系统实现需状态完全能控。因此,可选择能控规范II形来建立被控系统的状态空间模型。故有2021/8/13第6章线性系统综合2.系统的开环特征多项式f(s)和由期望的闭环极点所确定的闭环特征多项式f*(s)分别为f(s)=s3+3s2+2sf*(s)=s3+4s2+6s+4则相应的反馈矩阵K为K=[a3*-a3a2*-a2a1*-a1]2021/8/13第6章线性系统

8、综合因此,在反馈律u=-Kx+v下,闭环系统状态方程为在例6-3中,由给定的传递函数通过状态反馈进行极点配置时需先求系统实现,即需选择状态变量和建立状态空间模型。这里就存在一个所选择的状态变量是否可以直接测量、可以直接作反馈量的问题。2021/8/13第6章线性系统综合由于状态变量是描述系统内部动态运动和特性的,因此对实际控制系统,它可能不能直接测量,更甚者是抽象的数学变量,实际中不存在物理量与之直接对应。若状态变量不能直接测