广义高斯函数及其积分问题

《广义高斯函数及其积分问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、!"广义高斯函数及其积分问题郭文秀，朱永银，张克新（武汉职业技术学院基础部，湖北武汉）!"##$!［摘要］给出了广义高斯函数的定义、讨论了高斯函数的图像和性质，并得出了几个广义高斯函数的积分式%［关键词］高斯函数；广义高斯函数；定积分；二重积分［中图分类号］［文献标识码］［文章编号］—（）——&’$()’##*+#$((##(#"##’,#"关于高斯函数［］，在很多数论书上都有详（）［（）］（）!)!)!#’%%#!!!!尽的论述［］，本篇重点讨论广义高斯函数及其，’(）［（）］［（）］()#$!#$!)%，$为整数%积分问

2、题为了引出广义高斯函数，先略提一下高%斯函数%所谓高斯函数就是假定是实数，我们用记!号［］表示不大于的最大整数，叫做高斯函数!!%）［（）］［（）］［（）（）］")!+!)!##+!%［（）］当（）为非整数时{&)&’!）［（）］)!）当（）为整数时!&)%!%（)!&)!）［（）］［（）］［（）（）］或,)!+!)!&%&+!［（）（）］由高斯函数的定义立刻可以得到如下简单性)!!&+#’%）［（）］［（）］［（）］［（） 质：+()!(+!)!)!###"（）］［（）］）［］［］+!+!%#’!!"!#’%!下面再来讨论

3、一下广义高斯函数的图象）［］［］（为整数）%($#!%$#!$%［］&当’为非整数时，{&!）［］!］当为整数时"&!%［!’）［］［］［］或［］&!!!!&(&%!&(#’%(对于广义高斯函数［（）］，如何作出它的)!图象呢？让我们首先来分析一下广义高斯函数图象的特征%）［］［］［］第一个特征是，由（）的性质知（）,!#(!#(%)!)!!"）［］［］［］［］［］［（）］，可见广义高斯函数［（）］的图象在基+(-.(/-.-././%)!)!"下面就两个问题来探讨广义高斯函数问题函数（）图象的下方%)!%’广义高斯函数第二

4、个特征是，由［（）］的定义知［（）］)!)!的图象是一组阶高为的平行于轴的平行线’!定义假定函数（）为定义在区间上的段这组平行线段呈阶梯形)!*%%连续函数，我们用记号［（）］表示不大（）的由以上两个特征便可以得出广义高斯函数)!)!最大整数，叫做广义高斯函数其中为自变量，［（）］图象作图的一般步骤是：%!)!%（）为基函数）作基函数（）的图象)!%’(%)!%若（），则广义高斯函数［（）］便写）过轴上的整数点作一组平行于轴的平)!%!)!((!成高斯函数［］了可见高斯函数是广义高斯函数-%行线分别交曲线（）于点⋯，，，，(

5、%)!!!!&(&’#的一个特例%，，⋯!!’(%然后过交点⋯，，，，，，⋯!!!!!&(&’#’(如果假定（），（）为上的连续函数，则分别向下作一组平行于轴的平行线交紧邻下方)!(!*(立刻可以将高斯函数的有关性质推广到广义高斯一平行线于点⋯，，，，，，⋯,,,,,&"&(&’#’则平行%函数中来%线段⋯，!&"，,!&"&(，,!&(&’，，，⋯即,!,!,&’#’’#）［（）］（）［（）］为所求作的广义高斯函数的图象我们称上述作’)!)!")!#’%%!!"［收稿日期］［作者简介］郭文秀（(##(’1’(1(#’0!+

6、1），女，湖北随州人，武汉职业技术学院基础部副教授，主要从事高等数学教学研究%’,图法为平行线交点法!例作高斯函数［］的图象"!!解)#%’"$(［］#$!*!!"%!(%#"按作图步骤，先作出基函数的图象，然%’"$"#!(后用平行线交点法确定平行线段的端点，连接这(#%*!" ! %#"%些端点所得一组平行线段即为所作的高斯函数$（%’"）%）［］的图象#%(&("%#"!!可类似地作出一些基本初等函数的广义高斯$’"#$(&（$((）&"!函数的图象，如［］，［!］，［］，［］，⋯#$!%&’$!()&!!尤其值得一提

7、的广义高斯函数［］等图象十分&’$*(&"上述关于广义高斯函数［（）］的积分结论+!是有趣的，但更加绝妙的结论还在于广义高斯函特别数［（，）］积分的几个公式，下面来推导这几!+!"个公式某些广义高斯函数的积分问题!+例求［］高斯函数［］的积分1!’"-!-"!!!#对于高斯函数［］的积分，由定义知高斯函!数是一个具有第一类间断点的函数，只要在积分区间内有有限个这类间断点，则根据定积分的可积性知函数［］在积分区间上可积，下面来求如!下积分!例求积分［$］（为有限自然数）+!-!$!!,$解$［］!-!#［%］!-!"!,!%"

8、&%#",$!$$,$"$$解首先将区域：,,$$，分$,$，，!"%!,’-.!"$$$为个小区域，：+$,%&"%，，，，⋯，".,+%#".+$在上［］，在上［］,!’"#,,!’"#""+，⋯，在上［］，在上［］,!’"#$&+,!’"$&"$，在上［］，⋯，在上#$&",!’"#