空间曲面与空间曲线学习总结.doc

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1、面及其方程一曲面方程的概念空间曲面可看做点的轨迹，而点的轨迹可由点的坐标所满足的方程来表达。因此，空间曲面可由方程来表示，反过来也成立。为此，我们给出如下定义：若曲面与三元方程(1)有下述关系：1、曲面上任一点的坐标均满足方程(1)；2、不在曲面上的点的坐标都不满足方程(1)。那么，方程(1)称作曲面的方程，而曲面称作方程(1)的图形。下面，我们来建立几个常见的曲面方程。【例1】球心在点，半径为的球面方程。解：设是球面上的任一点，那么，即：(2)(2)式就是球面上任一点的坐标所满足的方程。反过来，不在球面上的点，到的距离，

2、从而点的坐标不适合于方程(2)。故方程(2)就是以为球心，为半径的球面方程。若球心在原点，即，其球面方程为【例2】设有点和，求线段垂直平分面的方程。解：所求平面是与和等距离的点的几何轨迹，设是所求平面上任意的一点，则即：化简得这便是平面的方程。上述两例告诉我们如下事实：作为点的几何轨迹的曲面可以用它的坐标间的方程来表示，反过来，变量之间的方程一般地表示点的轨迹所形成的曲面。因此，空间解析几何关于曲面的研究，有以下两个基本问题：第一、已知曲面作为点的几何轨迹，建立该曲面的方程；第二、已知坐标的方程，研究该方程所表示的曲面形状

3、。二旋转曲面【例3】设有一条过原点，且与轴夹角为的直线，求直线绕轴旋转所产生的曲面的方程。(绕轴旋转时，始终与轴保持定角)解：设开始位于平面，是上一点，则当转动时，点转到点在的转动过程中，点的竖坐标满足且点到轴的距离满足从而或(3)其中。这表明：曲面上任一点的坐标一定满足方程(3)；反过来，如果不在曲面上，那么直线与轴的夹角就不等于，于是，点的坐标就不满足方程(3)。因此，方程(3)便是所求的曲面方程。上述曲面称之为圆锥面，动直线与轴的交点称之为圆锥面的顶点，定角称为圆锥面的半顶角。一般地，我们给出旋转曲面的定义如下：一条

4、平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，这条定直线叫做旋转曲面的轴。显然，圆锥面是一种旋转曲面，求平面上的直线绕轴旋转所成的圆维面，只需将改成，即可得到圆锥面的方程用类似的方法，可求出一般旋转曲面的方程。设在平面上有一条已知曲线，它的方程为,将绕轴旋转一周，得到以轴为轴的旋转曲面。设是上任一点的坐标，则,当点旋转到点时，总有点到轴的距离为将，代入方程得到这便是所要求的旋转曲面的方程。同理，曲线绕轴旋转所成的旋转曲面方程为三柱面【例4】方程表示怎样的曲面?解：在面上表示圆心在原点，半径为的圆。在空间直角

5、坐标中，该方程不含变量，即不论取何值，只要横坐标和纵坐标适合方程的空间点均在该曲面上。也就是说，过圆上的点且平行于轴的直线都在该曲面上。因此，曲面是由平行于轴的直线沿面上的圆移动而形成的。这一曲面称作圆柱面。面上的圆称之为准线，那些平行于轴且过准线的直线叫做母线。一般地，我们给出柱面的定义如下：平行于定直线并沿定曲线移动的直线形成的轨迹称之为柱面。定曲线称为柱面的准线，动直线称为柱面的母线。空间曲线及其方程一、空间曲线一般方程我们知道，空间直线可看作两个相交平面的交线。一般地，空间曲面也可看作两个相交曲面的交线。设和是两个

6、相交曲面的方程则方程组（1）表示交线的方程，称为空间曲线的一般方程。【例5】方程组表示什么曲线？解：因为表示双曲抛物面，表示平行于在面的平面，它们的交线是平面上的抛物线。实际上将代入，得，因此它表示平面上，顶点在开口向上的抛物线。二、空间曲线的参数方程我们还知道，空间直线的参数方程为这里都是参数的线性函数。一般地，如果是参数的函数，方程组（2）通常表示一条空间曲线，方程组（2）叫做空间曲线的参数方程。当给定时，就得到曲线上的一个点；随着的变动便可得到曲线上的全部点。【例7】设圆柱面上有一质点，它一方面绕轴以等角速度旋转，另

7、一方面以等速度向轴正方向移动，开始时即时，质点在处，求质点运动方程。解：设时间时，质点在（如图6-34），是在面上的投影，则图6-34因此质点的运动方程为此方程称为螺旋线的参数方程。三、空间曲线在坐标面上的投影以空间曲线为准线，母线平行于轴（即垂直于面）的柱面叫做曲线关于面的投影柱面，投影柱面与面的交线叫做空间曲线在面上的投影曲线，简称投影。如何来求空间曲线的投影柱面和投影曲线呢？设空间曲线的方程为（3）消去变量得方程（4）由上节知道，方程（4）表示母线平行于轴的柱面。而方程（4）是由方程组（3）消去后所得的结果，因此满足

8、（3）的必定满足（4），这说明方程组（3）所表示的曲线上的所有的点都在方程（4）所表示的柱面上。因此方程（4）所表示的柱面必定包含以方程组（3）所表示的曲线为准线，母线平行于轴的柱面，即空间曲线关于面的投影柱面。而方程组所表示的曲线必定包含空间曲线在面上的投影。同理，消去方程组（3）中变量或变量再分别和