论数学抽象思想方法

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1、论数学抽象思想方法摘要：抽象性是数学学科的主要特点，也是数学学习的难点。抽象思维能力是一种特殊的数学思维能力，抽象思想方法是重要的数学思想方法之一。通过结合现实生活中的具体实例，讲述数学抽象方法的基本概念、本质及其地位与价值，讨论数学抽象思想方法在数学建模中的应用，将有利于教师对数学抽象思想方法的理解和渗透。关键词：数学思想方法;抽象;数学建模1.数学抽象方法的概念19世纪末到二十世纪初，德国数学家康托建立了集合论，借助集合论，人们可以简洁地概括出数学的研宄内容是结构与模式。事实上，现实世界千变万化，千差万别。数学的目标是要发现各种事物的本质，寻找不同事物的联系，找出不同事物的共性，

2、探索事物发展的规律，揭示事物现象的奥秘，用以描述与理解自然和社会现象，以便对发展方向进行判断、控制、改良和预测。数学要透过现象看本质，通过个性看共性，在混沌中寻找秩序，在变化中寻找恒定。比如，一个苹果加两个苹果是三个苹果，一个梨加两个梨是论数学抽象思想方法摘要：抽象性是数学学科的主要特点，也是数学学习的难点。抽象思维能力是一种特殊的数学思维能力，抽象思想方法是重要的数学思想方法之一。通过结合现实生活中的具体实例，讲述数学抽象方法的基本概念、本质及其地位与价值，讨论数学抽象思想方法在数学建模中的应用，将有利于教师对数学抽象思想方法的理解和渗透。关键词：数学思想方法;抽象;数学建模1.数

3、学抽象方法的概念19世纪末到二十世纪初，德国数学家康托建立了集合论，借助集合论，人们可以简洁地概括出数学的研宄内容是结构与模式。事实上，现实世界千变万化，千差万别。数学的目标是要发现各种事物的本质，寻找不同事物的联系，找出不同事物的共性，探索事物发展的规律，揭示事物现象的奥秘，用以描述与理解自然和社会现象，以便对发展方向进行判断、控制、改良和预测。数学要透过现象看本质，通过个性看共性，在混沌中寻找秩序，在变化中寻找恒定。比如，一个苹果加两个苹果是三个苹果，一个梨加两个梨是三个梨，一棵树加两棵树是三棵树，虽然物质对象发生了变化，但数量关系却保持不变，其本质都是l+2=3;a+b2=a2

4、+2ab+b2,a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3，虽然两个公式看起来不同，但这两个公式都蕴藏着同样的规律__二项式定理;再比如下面两个例子：例1著名的哥尼斯堡“七桥问题”：18世纪的哥尼斯堡是德国的一个美丽城市，布勒尔河穿城而过，它有两个支流，在哥尼斯堡城中心汇成大河，河中间有一个小岛，河上有七座桥，岛上有一座古老的大学，一座教堂，还有哲学家康德的墓地和塑像。当地的居民，特别是大学生们常常到七桥附近散步。渐渐地大家热衷于一个问题：一个人如何能不重复地一次走遍这七座桥而返回出发点？很多人做过尝试，但都未能实现，这便产生了数学史上著名的“七桥问题”。1735年，一群大学生写信给著

5、名的数学家欧拉，希望欧拉能够解决这个问题。欧拉首先从千百人次的失败中猜想，也许根本不可能不重复地一次走遍这七座桥，但如何来证明它呢？欧拉想，既然岛与岛无非是桥的连接地点，两岸陆地也是通过桥通往的地点，那么就不妨把这四处地点抽象成四个点，并把七座桥抽象成七条线，这样既不改变问题的实质，问题也就成了一个关于几何图形的问题，即人们步行走过这些地方和七座桥时，就相当于用笔画出此图。于是问题转化为：能否用笔不重复地一笔画出此图。接着欧拉探讨了这个一笔画问题的结构特征。一笔画有一个起点和一个终点，他们重合时称为封闭图形，否则称为开放图形。除起点和终点外，一笔画中间可能出现一些曲线的交点，在这些交

6、点处曲线一进一出，通过的曲线总是偶数条，这些交点就称为“偶点”；而只有起点和终点通过的曲线可能是奇数条，这些起点和终点称为“奇点”，特别地，当起点和终点重合时，便成为一个偶点，不再是奇点。通过上面的探宄，欧拉断言：任何一个一笔画问题，要么没有奇点，要么有两个“奇点”，而在“七桥问题”所对应的图形中，四个点都是“奇点”，因此，它不能一笔画成，从而人们不可能不重复地一次走过所有哥尼斯堡的七座桥。在“七桥问题”之后，欧拉又继续深入研宄，终于用严密的数学语言证明了一个可鉴别任何一个图形能否一笔画的“一笔画定理”：一个网络（任意一个由有限条弧线构成的图形，且每条弧线都具有两个相异的端点）是一笔

7、画，当且仅当该网络是连通的，并且奇顶点的个数是0与2。欧拉解决这个问题所用的思维方法，就是抽象方法，即由感性认识到理性抽象，再由理性抽象上升到理性认识，这也是人们认识事物常用的一种抽象思维方法。“七桥问题”有力地说明了数学抽象将实际关系中许多无关紧要的东西（如桥的大小、形状，岛的大小、形状等）舍掉，而紧紧抓住其中带有本质特征的东西，从而构造出一些在逻辑上无矛盾的“纯粹的”数学关系。在两千多年的数学发展过程中，数学由无数次渐变和少数几次突变才形成目前如此庞大