点击高考中的不等式问题.doc

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1、点击高考中的不等式问题江苏省射阳中学邓克云纵观近年来的高考试题，不等式是高考必考的热点内容之一，不仅考查不等式的基本知识、基本技能，而且考查运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力．高考对不等式的考查主要有：（1）不等关系及不等式的性质；（2）一元二次不等式及含绝对值不等式的解法；(3)线性规划；（4）重要不等式及其应用，(5)不等式作为一种重要工具，解决与函数、方程等综合的数学问题．一、不等关系与不等式的性质不等关系与不等式的性质是基础知识，常以小题直接考查或蕴含在其它不等式问题中考查

2、．例1（2012·湖南）设a＞b＞1，，给出下列三个结论：①＞；②＜；③；其中所有的正确结论的序号是_________．（A）①（B）①②（C）②③（D）①②③【答案】D【解析】由a＞b＞1知，又，所以，①正确；由幂函数的图象与性质知②正确；由a＞b＞1，知，由对数函数的图象与性质知③正确．【点评】本题考查不等关系、不等式的性质以及常见函数的图象和性质．变式训练1对于实数a、b、c，下列命题中真命题的序号为_________．(1)若a；(3)若a

3、4)若a．【答案】(2)(3)【解析】(1)因为≥0，c＝0时，，只有c≠0时才正确；所以是假命题．(2)由不等式的性质：a，命题是真命题．(3)因为a<0⇒，又a，命题是假命题．二、重要不等式及其应用常用的重要不等式有算术-几何平均不等式、柯西不等式，其中算术-几何平均不等式以及运用算术-几何平均不等式求最值，是高考的一个热点．例2（1）（2013·

4、山东）设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（）(A)0(B)(C)2(D)（2）（2013·湖南）已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．【答案】（1）C；（2）12【解析】（1）因为正实数，所以，当且仅当，即时，等号成立，此时，所以故当时，有最大值2．故选C．（2）因a＋2b＋3c＝6，由柯西不等式可知(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，可知a2＋4b2＋9c2≥＝12，当＝＝时取“＝”,所以最小值为12.【

5、点评】（1）多元最值问题，先消元，再用基本不等式，注意验证等号是否取到．运用基本不等式求最值，遵循“一正二定三相等”的原则；（2）符合柯西不等式的形式或可化为能利用柯西不等式的，方可使用．变式训练2（1）若a，b，c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值为(　　)A．－1B．＋1C．2＋2D．2－2（2）（2013·湖北）设,且满足:,,则_______.【答案】（1）D；（2）【解析】（1）(2a＋b＋c)2＝4a2＋b2＋c2＋4ab＋4ac＋2bc≥4a2＋2bc＋4a

6、b＋4ac＋2bc＝4[a(a＋b＋c)＋bc]，由于a，b，c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，所以2a＋b＋c≥2＝2－2，选D．　（2）由柯西不等式得(x2＋y2＋z2)(1＋4＋9)＝14≥(x＋2y＋3z)2＝14，当＝＝时取“＝”，故x＝，y＝，z＝，则x＋y＋z＝.三、一元二次不等式一元二次不等式是高考必考内容，可以是简单的不等式的求解，也可以与函数、方程等相综合考查．例3（2013·江苏）已知是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集用区间表示为．【答案】　【解析】易求则不等式

7、解得或，∴解集为．【点评】一元二次不等式、二次函数、二次方程，三个二次是高考考查的一个重点．而以函数为背景考查不等式，是近年来高考命题的一个热点．变式训练3（2013·重庆）关于的不等式的解集，且，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】A　【解析】不等式，∴，又，∴．选A．四、含有绝对值的不等式含有绝对值的不等式常作为高考选考内容，可以是简单的绝对值不等式的求解，也可以与函数联系在一起综合考查．例4（2013·新课标）已知函数f(x)＝

8、2x－1

9、＋

10、2x＋a

11、，g(x)=x+3.（Ⅰ）当a=-2

12、时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；（Ⅱ）设a＞－1，且当时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围.【解析】(I)当时，不等式f(x)＜g(x)化为，当时，原不等式化为∴，当时，原不等式化为，∴，当时，原不等式化为∴，综上，原不等式的解集为．(II)当时，，不等式f(x)≤g(x)化为，即对都成立，故，即，从而的取值范围是．【点评】解含绝对值不等式的问题，关键是去掉绝对值符号，而去绝对值符号的通法是利用绝对值的意义．涉及绝对值的不等式问题，也常利用绝对值的几何意义或绝对值不等式的性