高中数学 第一章 三角函数 1.7 正切函数学案 北师大版必修4

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1、7．1　正切函数的定义7．2　正切函数的图像与性质7．3　正切函数的诱导公式1．理解任意角的正切函数的定义．2．能画出y＝tanx的图像．(重点)3．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间内的单调性．(重点)4.正切函数诱导公式的推导及应用．(难点)[基础·初探]教材整理1　正切函数的定义、图像及性质阅读教材P36～P38“动手实践”以上部分，完成下列问题．1．正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，且角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么比值叫作角α的正切函数，记作y＝tanα，其中α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)．2．正切线如图1－

2、7－1所示，线段AT为角α的正切线．图1－7－13．正切函数的图像与性质图像性质定义域值域R奇偶性奇函数周期性周期为kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为π单调性在，k∈Z上是增加的对称性该图像的对称中心为，k∈Z判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数y＝tanx的定义域为R.(　　)(2)正切函数y＝tanx的最小正周期为π.(　　)(3)正切函数y＝tanx是奇函数．(　　)(4)正切函数y＝tanx的图像关于x轴对称．(　　)【解析】　(1)y＝tanx的定义域为.(2)y＝tanx的周期为kπ(k∈Z)，最小正周期为π.(3)因为y＝tanx的定义域关于原点对称，且

3、tan(－x)＝－tanx，故为奇函数．(4)由图知，正切函数图像既不关于x轴对称，也不关于y轴对称．【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×教材整理2　正切函数的诱导公式阅读教材P38～P39例1以上部分，完成下列问题．正切函数的诱导公式角x函数y＝tanx记忆口诀kπ＋αtanα函数名不变，符号看象限2π＋αtanα－α－tanαπ－α－tanαπ＋αtanα＋α－cotα函数名改变，符号看象限－αcotα判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)tan＝cotα.(　　)(2)正切函数的诱导公式中的角为任意角．(　　)(3)tan(kπ－α)＝－tanα.(　　)【解析

4、】　(1)tan＝tan＝tan＝cotα，所以(1)正确．(2)无论角α是哪个象限的角，诱导公式都适合，故(2)正确．(3)tan(kπ－α)＝－tanα，故(3)正确．【答案】　(1)√　(2)√　(3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________疑问2：_____________________________

5、____________________________解惑：___________________________________________________________疑问3：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________[小组合作型]利用定义求正切值　如图1－7－2，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，∠AOP＝，∠AOQ＝α，α∈[0，π)．图1－

6、7－2(1)若已知角θ的终边与OP所在的射线关于x轴对称，求tanθ；(2)若已知Q，试求tanα.【精彩点拨】求出角的终边与单位圆的交点后，利用正切函数的定义求解．【自主解答】　(1)∵角θ的终边与OP所在的射线关于x轴对称，且P，故θ的终边与单位圆交于P′，则tanθ＝＝－.(2)∵∠AOQ＝α且Q，∴tanα＝＝.1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tanα＝.2．已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置．3．tanα＝知其中两个，可求另一个．

7、[再练一题]1．角α的终边经过点P(－b,4)且cosα＝－，求tanα的值.【导学号：66470022】【解】　由题意知cosα＝＝－，∴b＝±3.又cosα＝－<0，∴P在第二象限，∴b＝3.∴tanα＝－.利用诱导公式求值或化简　(1)化简：；(2)求值：.【精彩点拨】　解答本题可依据先用周期性或关于－α的诱导公式，把角绝对值“化小”，再利用恰当的公式化简．【自主解答】　(1)原式＝＝＝－cosα.(2)原式＝＝＝＝2－.在使用诱导公式化