高中数学《数列的概念》学案12 北师大版必修5

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1、数列的概念知识概要：1．数列：按一定次序排列的一列数叫做数列．（1）数列的一般形式可以写成简记，其中是数列的第项；（2）数列可看成是定义域为或的子集（子集中的自然数必须连续）的特殊函数，研究数列可联系函数的相关知识进行．2．通项公式：如果数列的第项与项数之间的函数关系可以用一个公式表示来表达，那么这个公式就叫做通项公式．记为，特别说明：并非每一个数列都可以写出公式，通项公式一般是不唯一的．3．数列的前项和：数列的前项和用表示，，与通项的基本关系是……重要公式（求通项公式）4．数列的分类：（1）按项分类：有穷数列

2、（项数有限）；无穷数列（项数无项）；（2）按的增减分类：（i）递增数列：，总有；（ii）递减数列：，总有；（iii）摆动数列：，有，也有，例如；（iv）常数数列：，；（v）有界数列：存在正整数使；（vi）无界数列：对任意正整数总存在使．5．递推数列：如果已知数列的前一项（或前几项），且任意一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，则这个数列叫递推数列，这个公式叫这个数列的递推公式．递推公式是给出数列的一种重要方式．例题解析：例1已知数列的通项公式是．（1）数列中有多少项是负数？（2）为何值时，有

3、最小值？并求出最小值．分析：数列的通项公式可看成，利用二次函数的性质解决问题．解：（1）由，解得，，数列有两项是负数；（2），可知对称轴时，有最小值，为．小结：数列的项与项数之间构成特殊的函数关系，用函数的有关知识解决问题时，要考虑定义域为正整数这一约束条件．例2在数列中，，求．分析：将递推关系式变形观察，解：原式可化为，所以．相加得，所以．小结：求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列史，常用迭加、迭代、迭乘，还应注意变形式是否是等差（或等比）数列，注意观察由递推公式写出的数列的前几项的特征，以便猜想归纳数列

4、的通项公式．例3有一数列，，，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出该数列的一个通项公式．解：由及递推公式，有，，，观察规律：形式，其中与的关系可由得出，而比小1，所以．小结：从特殊的事例，通过分析、猜想、归纳、抽象总结出一般规律，再进行证明，这种探索问题的方法在解决数列问题中常用到．例4已知数列的通项公式，且，求．解：由题意得解得所以，则．例5已知的前项和满足，求数列的通项公式．分析：这是一个已知数列的前项和求通项公式的问题，应先解对数方程求，然后用求．解：由，得，所以，，得，又，所以．例6已知数列

5、的前项和为，数列的前项和为，若，求的值．解：对于，，所以，对于，，所以，又，即，所以．课后练习：1．数列中，，对于所有的都有，则（）2．数列中，，则（）3．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的个月内累积的需求量（万件）近似地满足，按此预测，在本年度内，需求量超过1．5万件的月份是（）5、6月6、7月7、8月8、9月4．若数列前8项的值各异，且对于都成立，则下列数列中，能取遍数列前8项值的数列是（）5．设，则数列从首项到第项的和最大．（）101110或11126．设是正项数列，其前项和为，并且对，与2的

6、等差中项等于与2的等比中项，写出此数列的前3项、、．7．已知，且共有100项，则此数列中最大项为第项，最小项为第项．8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第个图形中有个点．（1）（2）（3）（4）（5）9．已知正项数列中，表示前项和，且，求．10．根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式：（1）…；（2）…；（3）…．11．已知数列的通项．试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．12．有一个细胞集合，在一小时里死亡两个，剩下的细胞每一个都分裂成两个，假设开始有

7、10个细胞，问经过几个小时后，细胞的个数为1540个？