高中数学第2讲证明不等式的基本方法1比较法学案新人教a版选修4

《高中数学第2讲证明不等式的基本方法1比较法学案新人教a版选修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、一　比较法1．理解比较法证明不等式的依据．2．掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．(重点)3．通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．(难点)[基础·初探]教材整理1　作差比较法阅读教材P21～P22例2，完成下列问题．1．理论依据：①a＞b⇔a－b＞0；②a＝b⇔a－b＝0；③a＜b⇔a－b＜0.2．定义：要证明a＞b，转化为证明a－b＞0，这种方法称为作差比较法．3．步骤：①作差；②变形；③判断符号；④下结论．若x，y∈R，记ω＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，则(　　)A．ω＞uB．ω＜uC．ω≥uD.无法确

2、定【解析】　∵ω－u＝x2－xy＋y2＝＋≥0，∴ω≥u.【答案】　C教材整理2　作商比较法阅读教材P22～P23“习题”以上部分，完成下列问题．1．理论依据：当b＞0时，①a＞b⇔＞1；②a＜b⇔＜1；③a＝b⇔＝1.2．定义：证明a＞b(b＞0)，只要转化为证明＞1，这种方法称为作商比较法．3．步骤：①作商；②变形；③判断商与1大小；④下结论．下列命题：①当b＞0时，a＞b⇔＞1；②当b＞0时，a＜b⇔＜1；③当a＞0，b＞0时，＞1⇔a＞b；④当ab＞0时，＞1⇔a＞b.其中真命题是(　　)A．①②③B．①②④C．④D.①

3、②③④【解析】　由不等式的性质，①②③正确．当ab＞0时(若b＜0，a＜0)，＞1与a＞b不等价，④错．【答案】　A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]作商比较法证明不等式　已知a＞0，b＞0且a≠b，求证：aabb＞(ab).【精彩点拨】　→→→【自主解答】　∵a＞0，b＞0，∴aabb＞0，(ab)＞0，作商＝aa·bb＝.∵a≠b，∴当a＞b＞0时，＞1且＞0，∴＞1，而(ab)＞0，∴aabb＞(ab).当b＞a＞0时，

4、0＜＜1且＜0，∴＞1，而(ab)＞0，∴aabb＞(ab).综上可知a＞0，b＞0且a≠b时，有aabb＞(ab).1．当不等式的两端为指数式时，可作商证明不等式．2．运用a＞b⇔＞1证明不等式时，一定注意b＞0是前提条件．若符号不能确定，应注意分类讨论．[再练一题]1．已知m，n∈R＋，求证：≥.【证明】　因为m，n∈R＋，所以≥＝，令ω＝＝m·n＝，则：①当m>n>0时，>1，m－n>0，则ω>1.②当m＝n时，ω＝1.③当n>m>0时，0<<1，m－n<0，则ω>1.故对任意的m，n∈R＋都有ω≥1.即≥，所以≥.比较法

5、的实际应用　甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？【精彩点拨】　设从出发地点至指定地点的路程是s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，要回答题目中的问题，只要比较t1，t2的大小就可以了．【自主解答】　设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，依题意有：m＋n＝s，＋＝t2.∴t1＝，t2＝，∴t1－t2＝－＝＝－.其中s，m，n

6、都是正数，且m≠n，∴t1－t2＜0，即t1＜t2，从而知甲比乙先到达指定地点．1．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键．2．在实际应用不等式问题时，常用比较法来判断数的大小关系．若是选择题或填空题，则可用特殊值加以判断．[再练一题]2．通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，试问：截面为圆的水管流量大还是截面为正方形的水管流量大？【导学号：32750029】【解】　设截面的周长为l，依题意知，截面是圆的水管的截面面积为π·2

7、，截面是正方形的水管的截面面积为.∵π·－＝＝.由于l＞0,0＜π＜4，∴＞0，∴π·＞.因此，通过水管放水，当流速相同时，如果水管的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大．[探究共研型]作差比较法探究　作差法遵循什么步骤？适用于哪些类型？【提示】　“作差法”的理论依据是实数的大小顺序与实数的运算性质之间的关系：“a＞b⇔a－b＞0，a＝b⇔a－b＝0，a＜b⇔a－b＜0”，其一般步骤为“作差→变形→判号→定论”．其中变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形

8、为一个常数，或一个常数与几个平方和的形式，或几个因式的积的形式等．当所得的“差式”是某个字母的二次三项式时，则常用判别式法判断符号．作差法一般用于不等式的两边是多项式或分式．　已知a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.【精彩点拨】　此不等式作差后是含有