数学：2.3.1《向量数量积的物理背景与定义1》教案（新人教b版必修4）

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1、2.3.1平面向量数量积的物理背景与定义一、教学目标1.知识与技能：掌握平面向量的数量积的定义、运算率及其物理意义2.过程与方法：（1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和数学的关系（2）通过向量数量积定义的给出，体会简单归纳与严谨定义的区别（3）通过向量数量积分配率的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法3.情感、态度与价值观：通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。二、教学重点、难点重点：平面向量数量积的定义难点：数量积的性质及运算率三、教学方法：探究性设计方法，提出问题，创设情境，引导学生参与教学过程四、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图引入以物

2、理学中的做功为背景引入问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？力做的功：W=

3、F

4、×

5、s

6、cosq，q是F与s的夹角q教师提出问题，学生思考由旧知识引出新内容；同时联系物理学和数学，理解具体和一般的关系[来源:Zxxk.Com]定义形成问题：给q一个精确定义问题：定义向量的一种乘积运算，使得做功公式符合这种运算一、两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角说明：（1）当θ＝０时，a与b同向；（2）当θ＝π时，a与b反向；（3）当θ＝时，a与b垂直，记a⊥b；（4）

7、注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0°≤q≤180°教师引导学生，注意：1.两向量必须同起点；2.q的取值范围；3.数量积的定义公式形式；4.注意特殊向量零向量让学生自己体会数学的概括性、严谨性及可操作性C二、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量

8、a

9、

10、b

11、cosq叫a与b的数量积，记作a×b，即有a×b=

12、a

13、

14、b

15、cosq，（０≤θ≤π）并规定与任何向量的数量积为0定义深化问题：根据向量数量积的定义进行变形分析，总结性质（考虑特殊情况）结论：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量1、e

16、×a=a×e=

17、a

18、cosq2、a^bÛa×b=03、a×a=

19、a

20、2或4、cosq=5、

21、a×b

22、≤

23、a

24、

25、b

26、问题：在以往接触的实数运算中，有很多运算率，结合实数乘法的运算率谈谈平面向量数量积的运算率问题：数量积满足乘法交换率、分配率、结合率、消去率吗？如何验证。（不满足结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)）结论：向量数量积满足的运算率：；；学生自己回顾、探索、根据已有知识得到问题的答案养成学生自己动脑、动手探索总结的习惯应用举例例1、已知

27、a

28、＝5，

29、b

30、＝4，=，求a·b练习1、已知

31、a

32、＝３，

33、b

34、＝６，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时

35、，分别求a·b练习2、判断正误，并简要说明理由（若易混淆可调整顺序）①a·＝；②0·a＝０；③－＝；④

36、a·b

37、＝

38、a

39、

40、b

41、；⑤若a≠，则对任一非零b有a·b≠０；⑥a·b＝０，则a与b中至少有一个为；⑦对任意向量a，b，c学生自己动手简单应用以及总结数量积的运算规律（类比多项式的运算）让学生由理论到实际操作，逐步熟悉、深入都有（a·b）c＝a（b·c）；⑧a与b是两个单位向量，则例1、求证：（1）.;(2).；(3).例3、ABC为等腰直角三角形，且斜边AC=，求的值练习：P109练习A（分组做）课堂小结1.平面向量的数量积的定义、性质及相关注意事项；2.平面向量的数量

42、积的运算性质（注意结合率和消去率不成立）3.对于平面向量的几种运算进行比较总结让学生写出基本框架，然后添加具体内容进一步体会数学的严谨性，培养学生思考的能力和习惯作业1、看书反思本节内容；2、P111练习A---1、2、3练习B---2养成学生看书的习惯