高一数学衔接教材 三角形的“四心”

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1、四川省南江四中高一数学初高中衔接教材：三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.图2图1如图1，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图2）是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例1求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点，求证AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.证明连结DE，设AD、BE交于点G

2、，D、E分别为BC、AE的中点，则DE//AB，且，∽，且相似比为1：2，.设AD、CF交于点，同理可得，则与重合，AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.例2已知的三边长分别为，I为的内心，且I在的边上的射影分别为，求证：.证明作的内切圆，则分别为内切圆在三边上的切点，为圆的从同一点作的两条切线，，同理，BD=BF，CD=CE.即.例3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知O为三角形ABC的重心和内心.求证三角形ABC为等边三角

3、形.证明如图，连AO并延长交BC于D.O为三角形的内心，故AD平分，（角平分线性质定理）O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC.，即.同理可得，AB=BC.为等边三角形.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图）例4求证：三角形的三条高交于一点.已知中，AD与BE交于H点.求证.证明以CH为直径作圆，在以CH为直径的圆上，.同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得.，又与有公共角，，即.过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是

4、三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.练习1．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.2．（1）若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为，则三角形的内切圆的半径是___________;（2）若直角三角形的三边长分别为（其中为斜边长），则三角形的内切圆的半径是___________.并请说明理由.