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1、第三章微积分操作第三章微积分操作1．如何求函数或者数列的极限在Mathematica中，不仅能计算通常的极限（包括极限为正负无穷的情况），还可以计算左右极限，在极限不存在时，Mathematica会给出函数震荡的区间范围（Interval）。下面是计算极限的三种形式：(当x0取Infinity时就相当于数列的极限)极限函数意义Limit[expr,x->x0]计算函数expr当x->x0时的极限Limit[expr,x->x0,Direction->1]计算左极限：方向从0到1Limit[expr
2、,x->x0,Direction->-1]计算右极限:方向从0到-1例：2．如何求一元函数的导数及高阶导数在Mathematica中，能方便地计算任何函数表达式的任意阶导数（微商）。计算一元函数的导数及高阶导数的函数的格式如下（函数中允许含其它看作常数的变量）：求导函数意义D[f,x]计算一阶导数f’(x)D[f,{x,n}]计算n阶导数f(n) (x)例：•23•第三章微积分操作1．如何求多元函数的偏导数及高阶偏导数我们知道求偏导数的实质就是求导数，所以在Mathematica中求导数和求偏导数
3、的函数是一样的，下面是其具体使用格式：求偏导函数意义D[f,x1,x2,…]计算多重偏导数D[f,{x1,n1},{x2,n2},…]计算多重混合高阶偏导数Dt[f]求全微分df例：2．如何计算一元函数的不定积分在Mathematica中用函数Integrate[f,x]计算不定积分，在输出的结果中省略了任意常数。应该指出的是，在Mathematica中计算导数几乎是所向无敌的，而计算积分则与积分问题本身的难度有关。我们知道，有些函数的原函数是不能用初等函数表示的，例如等。这时Mathematic
4、a采用的方法是原样输出或者使用超越函数表示。详细的内容可以参考Mathematica关于积分函数的使用帮助。例：•23•第三章微积分操作1．如何计算一元函数的定积分计算一元函数定积分的函数也是Integrate，在无法求出精确解时可以使用数值积分函数NIntegrate，此外Mathematica还可以计算广义积分，在积分发散时会给出提示。计算定积分的一般形式如下：定积分函数意义Integrate[f(x),{x,a,b}]计算定积分Nintegrate[f(x),{x,a,b}]用数值计算方法计
5、算定积分例：•23•第三章微积分操作1．如何计算二重积分和三重积分实际上，在Mathematica中计算任何积分都是同一函数Integrate。下面是计算二重积分和三重积分的使用格式：定积分函数意义Integrate[f(x,y),{x,a,b},{y,c,d}]计算二重积分Nintegrate[f(x,y),{x,a,b},{y,c,d}]用数值计算方法计算二重积分Integrate[f(x,y,z),{x,x0,x1},{y,y1,y2},{z,z1,z2}]计算三重积分Nintegrate[
6、f(x,y,z),{x,x0,x1},{y,y1,y2},{z,z1,z2}]用数值计算方法计算三重积分注意：重积分的计算顺序是从右到左，这与我们在《高等数学》中计算累次积分的顺序是一致的。这就要求我们在计算之前，需要把具体问题的二重积分或三次积分表达式转换成累次积分，然后再使用Mathematica计算。例：2．如何把函数展开成幂级数Mathematica允许对幂级数进行多种运算，包括把函数在任意点展开成任意阶幂级数、幂级数的四则运算、幂级数的复合和反演等。下面是其操作方法：幂级数函数意义Ser
7、ies[f(x),{x,x0,n}]把f(x)在x=x0展开直到x的n次幂Series[f(x,y),{x,x0,n1},{y,y0,n2}]把二元函数f(x,y)展开Normal[幂级数]去掉幂级数中的误差项O[x]n,得到一多项式幂级数1/.x->幂级数2两个级数复合InverseSeries[幂级数，t]用变量t反演幂级数（即求反函数的幂级数）例：•23•第三章微积分操作1．如何求解常微分方程和常微分方程组在Mathematica中使用函数Dsolve可以解常微分方程和常微分方程组。在没有给
8、定方程的初值条件的情况下，解中含有待定的系数C[1],C[2]等，当然你也可以把初值条件包含在方程内。下面是其使用格式，可以看出，DSOlve和前面解方程用的函数Solve的使用格式是基本一样的。常微分方程求解函数意义Dsolve[微分方程或初值条件,y[x],x]解y(x)的微分方程，x为变量Dsolve[{微分方程组或初值条件},{x[t],y[t]},t]解微分方程组，t为变量例：注：在Mathematica中也使用y’[x]表示一阶导数，y’’[x]表示二阶导数，y’’’’
