《微积分论》word版

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1、微积分发展史的认识及应用姓名：张佳佳班级：数学1班学号：120701010027摘要微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求解导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同

2、时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。关键词微积分；应用；微分；积分；物理，几何引言微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从

3、17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。通过研究微积分在物理，经济等方面的具体应用，得到微积分在现实生活中的重要意义，从而能够利用微积分这一数学工具科学地解决问题。微积分的发展历史表明了人的认识是从生动的直观开始，进而达到抽象思维，也就是从感性认识到理性认识的过程。人类对客观世界的规律性的认识具有相对性，受到时代的局限。随着人类认识的深入，认识将一步一步地由低级到高级、不全面到比较全面地发展，人类对自然的探索永远不

4、会有终点。1微积分的介绍1.1微积分的基本内容1.1.1一阶微分定义：设函数在某区间内有定义，及在此区间内。如果函数的增量，可表示为（其中A是不依赖于的常数），而是比高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点是可微的，且称作函数在点相应于自变量增量的微分，记作，即。通常把自变量x的增量称为自变量的微分，记作，即。于是函数的微分又可记作。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。几何意义设是曲线上的点M的在横坐标上的增量，是曲线在点M对应在纵坐标上的增量，是曲线在点M的切线对应在纵坐标上的增量。当非常小时，比要小得多(高阶无

5、穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。1.1.2多元微分　　多元微分又叫全微分，是由两个自变量的偏导数相对应的一元微分的增量表示的。　　为函数Z在点处的全增量（其中A、B不依赖于和，而只与x、y有关，,即是Z在点的全微分。　　总的来说，微分学的核心思想便是以直线代替曲线，即在微小的邻域内，可以用一段切线段来代替曲线以简化计算过程。　1.1.不定积分设为函数的一个原函数，我们把函数的所有原函数（C为任意常数）叫做函数的不定积分。记作。其中叫做积分号，叫做被积函数，x叫做积分变量，叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分

6、的过程叫做对这个函数进行积分。由定义可知：求函数的不定积分，就是要求出的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数的一个原函数，再加上任意的常数C，就得到函数的不定积分。1.1.1积分与微分关系积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。　　一个函数的不定积分指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数，其中：一个实变函数在区间上的定积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。　　积分从不同的问

7、题抽象出来的两个数学概念。定积分和不定积分的统称。不定积分是为解决求导和微分的逆运算而提出的。例如：已知定义在区间I上的函数，求一条曲线，使得它在每一点的切线斜率为。函数的不定积分是的全体原函数（见原函数），记作。如果是的一个原函数，则，其中C为任意常数。例如，定积分是以平面图形的面积问题引出的。为定义在上的函数，为求由和所围图形的面积S，采用古希腊人的穷竭法，先在小范围内以直线代替曲线，求出S的近似值，再取极限得到所求面积S，为此，先将分成n等分：，取，记，则为S的近似值，当时，的极限应可作为面积S。把这一类问题的思想方法抽象出来，便得定积分

8、的概念：对于定义在上的函数，作分划，若存在一个与分划及的取法都无关的常数I，使得,其中则称I为在上的定积分，表为即称为积分区间，为被积函数，a，b分别