《微积分复习资料》word版

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1、09—10学年第一学期“微积分”期末复习指导-10-第一章函数一．本章重点复合函数及分解，初等函数的概念。二．复习要求1、能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。3、牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中⑴.对于对数函数不仅要熟记它的运算性质，还能熟练应用它与指数函数互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算：⑵.对于反三角函数不仅要熟习它的定义域、值域及简单性质，还要熟记它在特殊点的函数值.4、掌握复

2、合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。5、知道分段函数，隐函数的概念。.三．例题选解例.试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？⑴.⑵.分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是简单函数。解：⑴.⑵.四．练习题及参考答案1.则f(x)定义域为，值域为f(1)=；.2.分解下列函数为简单函数的复合：⑴.⑵.答案：1.（-∞+∞）,,.2.⑴.⑵.自我复习：习题一.（A）55．⑴、⑵、⑶。第二章极限与连续一．本章重点极限的计算，初等函数的连续性。二．

3、复习要求1．了解变量极限的概念，掌握函数f(x)在x0点有极限的充要条件是：函数在x0点的左右极限都存在且相等。2.理解无穷小量与无穷大量的概念和关系；掌握无穷小量的运算性质；会比较无穷小的阶，熟练掌握求无穷小之比的极限时，利用等价无穷小代换求极限，常用的等价无穷小代换是：当à0时,有：～;～～;-10-～;～.…….3.掌握两个重要极限:(Ⅰ).(Ⅱ).记住它们的形式、特点、自变量的变化趋势及扩展形式(变形式).并能熟练应用其求极限，特别是应用重要极限(Ⅱ)的如下扩展形式求型未定式极限：4.掌握函数连续的概念，知道结论：初等函数在其定义区间

4、内都是连续的，分段函数在定义区间内的不连续点只可能是分段点。函数f(x)在分段点x0处连续的充要条是：函数在x0点极限存在且等于，即：当分段函数在分段点的左右两边表达式不相同时，函数f(x)在分段点x0处连续的充要条件则是：.5.掌握函数间断点及类型的判定。函数的不连续点称为间断点，函数在点间断，必有下列三种情况之一发生：⑴、在点无定义；⑵、不存在；⑶、存在，但若为的间断点，当及都存在时，称为的第一类间断点，特别＝时（即存在时），称为的可去间断点。不是第一类间断点的都称为第二类间断点。6.能够熟练地利用极限的四则运算性质；无穷小量、无穷大量的

5、关系与性质；等价无穷小代换；教材P69公式（2.6）；两个重要极限；初等函数的连续性及罗必塔法则(第四章)求函数的极限。三.例题选解例1.求极限：⑴⑵⑶解:⑴此极限为型∵当时，有～,～∴⑵此极限为型，可用重要极限。＝-10-.⑶此极限为型,仍可用重要极限=.例2．判断函数的间断点，并判断其类型。解：由于∴是函数y无定义的点，因而是函数y的间断点。∵∴为函数y的可去间断点；∴为函数y的第二类（无穷型）间断。例3．函数在点处连续，求常数k.分析与解：由于分段函数在分段点的左右两边表达式相同，因此在连续的充要条件是∵∴四.练习题及参考答案1.填空⑴

6、设=当=时,在处连续⑵设=,则=2.求极限⑴．⑵．3.求函数的间断点，并判断间断点的类型。-10-答案:1.⑴.3⑵.1;2.⑴.;⑵..3.间断点为可去间断点，间断点为第二类（无穷型）。自我复习.习题二(A)11.⑾,⑿,⒀.24.(2),⑶，(4),⑺.25.⑴.28.⑴.30.⑴,⑵,⑶.37．⑴,⑷.第三章导数与微分一.本章重点.导数概念及导数的计算.二.复习要求1.掌握函数在处可导的定义，并能熟练应用导数的定义式求分段函数在分段点的导数。导数是一个逐点概念，在处的导数的定义式常用的有如下三种形式：.2.知道导数的几何意义，会求在处的

7、切线方程和法线方程。3.熟记基本求导公式及求导的运算法则，熟练掌握下列求导方法,并能熟练应用它们求函数的导数：⑴运用基本求导公式及求导的四则运算法则求导；⑵复合函数求导法；⑶隐函数求导法；⑷取对数求导法。4.理解高阶导数的概念，能熟练求函数的二阶导数。5.理解微分的概念，能应用微分基本公式及运算法则求函数的微分。6.掌握函数可微,可导及连续的关系。三.例题选解例1.求下列函数的导数：⑴．，求⑵．=,求.⑶．设=由方程所确定，求⑷.,求解：⑴、本题为抽象函数求导，由复合函数求导法，得：.⑵本题为幂指函数求导，必须用取对数求导法。原方程两边取对数

8、：上式两边对求导，视y为中间变量:=⑶．本题为隐函数求导，将原方程两边对求导，视-10-为中间变量：解上面关于的方程，得：.⑷.例3．求曲线在其切线斜率等于处的切线