2012高中数学 第3章3.2.2知能优化训练 湘教版选修1-1

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1、知能优化训练[学生用书P33]1．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝(　　)A．0　　　　　　　　　B．2xC．6D．9解析：选C.∵f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.2．已知函数f(x)＝，则f′(－3)＝(　　)A．4B.C．－D．－解析：选D.∵f′(x)＝－，∴f′(－3)＝－.3．(2011年青州高二检测)若f(x)＝cosx，则f′(α)等于(　　)A．sinαB．cosαC．2α＋sinαD．－sinα解析：选D.f′(x)＝(cosx)′＝－sinx，∴f′(α)＝－sinα.4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为____

2、____．解析：y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，∴切线方程为：y－e2＝e2(x－2)．令x＝0得y＝－e2；令y＝0得x＝1.∴S△＝e2·1＝e2.答案：e2一、选择题1．函数y＝cotx的导数是(　　)A.B．－C．－D.解析：选C.由导数公式表可知(cotx)′＝－.2．下列结论中不正确的是(　　)A．若y＝3，则y′＝0B．若y＝，y′＝－C．若y＝－，则y′＝－D．若y＝3x，则y′＝3解析：选B.∵y′＝()′＝(x－)′＝－x－－1＝－x－＝－，∴B错误．3．若f(x)＝sinx，则f′(2π)等于(　　)A．1B．－1C．0D．cosx解析：选A.

3、因为f(x)＝sinx，所以f′(x)＝cosx，所以f′(2π)＝cos2π＝1.4．(2011年高考江西卷)曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为(　　)A．1B．2C．eD.解析：选A.y′＝(ex)′＝ex，∴当x＝0时，y′＝e0＝1，故y＝ex在A(0,1)处的切线斜率为1，选A.5．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　)A．4x－y－3＝0B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0解析：选A.y′＝(x4)′＝4x3.设切点为(x0，y0)，则4x×(－)＝－1，∴x0＝1.∴切点为(1,1)．∴l

4、的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0，故选A.6．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2010(x)等于(　　)A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx解析：选B.利用正、余弦函数的求导公式及函数的周期性求解．f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝sinx，…，∴周期为4，故f2010(x)＝f2(x)＝－sinx．故选B.二、填空题7．已知

5、函数f(x)＝3x，则f′(0)＝________.解析：f′(x)＝3xln3，则f′(0)＝ln3.答案：ln38．已知f(x)＝lnx，且f′(x0)＝，则x0＝________.解析：f′(x)＝，所以f′(x0)＝，又f′(x0)＝，所以＝，所以x0＝x.所以x0＝0(舍)或x0＝1.答案：19．y＝的斜率为－1的切线方程为________．解析：令y′＝－＝－1，得x＝±1.∴切点为(1,1)或(－1，－1)．∴切线方程为y－1＝－(x－1)或y＋1＝－(x＋1)．即x＋y－2＝0或x＋y＋2＝0.答案：x＋y－2＝0或x＋y＋2＝0三、解答题10．求下列函

6、数的导数．(1)y＝2；(2)y＝；(3)y＝10x；(4)y＝logx；(5)y＝2cos2－1.解：(1)∵y′＝c′＝0，∴y′＝2′＝0.(2)∵y′＝(xn)′＝n·xn－1，∴y′＝()′＝(x)′＝x－1＝x－＝.(3)∵y′＝(ax)′＝ax·lna，∴y′＝(10x)′＝10x·ln10.(4)∵y′＝(logax)′＝，∴y′＝(logx)′＝＝－.(5)∵y＝2cos2－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.11．已知抛物线y＝2x2＋1，求：(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x－y－

7、2＝0?解：设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于零时，无限趋近于4x0.即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1.即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，该点为(，)．(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4.即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．12．已知两条曲线y＝sinx，y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？