2012高中数学 第3章3.3.1知能优化训练 湘教版选修1-1

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1、知能优化训练[学生用书P33]1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.例如：f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1

2、y′＝1－＝.令y′＞0，得＞0，∴x＞0或x＜－1.又x＋1＞0，∴x＞0.3．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有(　　)A．f(x)>0B．f(x)<0C．f(x)＝0D．不能确定解析：选A.因f′(x)>0，所以f(x)在(a，b)上是增函数，所以f(x)>f(a)≥0.4．(2011年高考江苏卷改编)函数f(x)＝2log5x＋1的单调增区间是________．解析：令f′(x)＝>0，得x∈(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)一、选择题1．函数f(x)＝(x－3)ex

3、的单调递增区间是(　　)A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)解析：选D.f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，故选D.2．函数y＝x2－lnx的单调递减区间为(　　)A．(0,1)B．(0,1)和(－∞，－1)C．(0,1)∪(1，＋∞)D．(0，＋∞)解析：选A.y＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，由y′＝x－＝＜0，∴0＜x＜1.所以选A.3．设f(x)、g(x)是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f′(x)g(x)－f

4、(x)g′(x)＜0，则当a＜x＜b时，有(　　)A．f(x)g(x)＞f(b)g(b)B．f(x)g(a)＞f(a)g(x)C．f(x)g(b)＞f(b)g(x)D．f(x)g(x)＞f(a)g(a)解析：选C.令F(x)＝，则F′(x)＝＜0.∵f(x)、g(x)是定义域为R的恒大于零的可导函数，∴F(x)在R上为递减函数，当x∈(a，b)时，＞.∴f(x)g(b)＞f(b)g(x)．4.已知函数y＝f(x)在定义域[－4，6]内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤

5、0的解集为(　　)A．[－，1]∪[，6]B．[－3,0]∪[，5]C．[－4，－]∪[1，]D．[－4，－3]∪[0,1]∪[5,6]解析：选A.由不等式f′(x)≤0的解集即为原函数f(x)的单调递减区间所对应的x的取值范围，知选A.5．设f(x)，g(x)在(a，b)上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b时有(　　)A．f(x)＞g(x)B．f(x)＜g(x)C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b)解析：选C.利用函数的单调性判断．令φ(x)＝f(x)

6、－g(x)，则φ′(x)＝f′(x)－g′(x)，∵f′(x)＞g′(x)，∴φ′(x)＞0，即函数φ(x)为定义域上的增函数．又a＜x＜b，∴φ(a)＜φ(x)，即f(a)－g(a)＜f(x)－g(x)，从而得f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)．6．函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数(　　)A.B.C.D.解析：选B.y′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx，若y＝f(x)在某区间内是增函数，只需在此间内y′恒大于或等于0即可．∴只有选项B符合题意，当x∈(π，2π)时，y′≥

7、0恒成立．二、填空题7．函数y＝3x－x3在(－1,1)内的单调性是________．解析：y′＝3－3x2，由y′＞0得－1＜x＜1，∴y＝3x－x3在(－1,1)内单调递增．答案：增函数8．y＝x2ex的单调递增区间是________．解析：∵y＝x2ex，∴y′＝2xex＋x2ex＝exx(2＋x)>0⇒x<－2或x>0.∴递增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞)．答案：(－∞，－2)，(0，＋∞)9．已知函数f(x)＝x3＋ax在区间[0，＋∞)上是增加的，则a的取值范围是________．解析：f′(x

8、)＝3x2＋a，则当x≥0时，f′(x)≥0恒成立，即3x2＋a≥0，∴a≥－3x2.又当x≥0时，－3x2≤0，∴a≥0.即a的取值范围是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)三、解答题10．求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝x3＋；(2)f(x)＝sinx(1＋cosx)(0≤x≤2π)．解：(1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝3x2－＝3(x2－)，由f′(