2014届高考数学一轮复习 第40讲《不等式的综合应用》热点针对训练 理

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1、1.(2013·南宁市第三次适应性测试)若关于x的一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个不同的正数根，则实数a的取值范围是(A)A．a>2B．a<－2C．－22解析：，解得a＞2，故选A.　2.(2012·郑州市高三第二次质量预测)若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂直，则9x＋3y的最小值为(D)A．12B．2C．3D．6解析：依题意得知4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2，9x＋3y＝32x＋3y≥2＝2＝2＝6，当且仅当2x＝y＝1时取等号，因此9x＋3y的最小值是6，

2、故选D.　3.(2012·湖北省部分重点中学起点考试)直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，MN≥2，则k的取值范围是(A)A．[－，0]B．(－∞，－]∪[0，＋∞)C．[－，]D．[－，0]解析：由条件知点到直线的距离d≤＝1，则d≤≤1，解得－≤k≤0，故选A.　4.(2013·天津市第三次模拟)已知函数f(x)＝a

3、x

4、，a＞1，则满足f(2x－1)

5、x

6、为偶函数，且易知在a＞1时，f(x

7、)＝a

8、x

9、在[0，＋∞)上单调递增，所以不等式f(2x－1)

10、2x－1

11、)

12、2x－1

13、<，解得＜x＜，故选A.　5.(2012·山东省阳信上期期末)A杯中有浓度为a%的盐水x克，B杯中有浓度为b%的盐水y克，其中A杯中的盐水更咸一些．若将A、B两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为　b<

14、下确界，对于a、b∈R，且a、b不全为0，的下确界是　　.解析：因为f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1≥－1，所以f(x)的下确界M即为f(x)的最小值．又因为a2＋b2≥2ab，所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，所以≥＝.　7.(2011·江苏省南京市第一次模拟)已知f(x)＝log2(x－2)，若实数m，n满足f(m)＋f(2n)＝3，则m＋n的最小值是　7　.解析：因为log2(m－2)＋log2(2n－2)＝log2(m－2)(2n－2)＝3，所以(m－2)(2n－2)＝23＝

15、8，且m－2>0,2n－2>0，因为4＝(m－2)(n－1)≤()2，所以m＋n≥7，故填7.　8.购买某种汽车，购车的总费用(包括缴税)为5万元，每年应交保险费及汽油费合计6000元，汽车的维修费平均为：第一年1000元，第二年2000元，……依等差数列逐年递增．问这种汽车使用多少年报废合算？(商品的最佳更换年限应该是使每年平均消耗费用最低的年限；年平均消耗费用＝年平均成本费的分摊＋年均维修费的分摊)解析：设这种汽车使用n年报废合算，则每年的维修费用平均为1000n.由题意可知，每年的平均消耗费用f(n)＝＝

16、＋500n＋6500≥2＋6500＝16500，当且仅当＝500n，即n＝10时，等号成立．故这种汽车使用10年报废合算．　9.(2013·株洲市质量统一检测)已知函数f(x)＝ln(x－1)－k(x－1)＋1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．解析：(1)函数f(x)的定义域为(1，＋∞)，f′(x)＝－k.因为x>1，所以>0，因此①当k≤0时，f′(x)>0，则f(x)在(1，＋∞)上是增函数；②当k>0时，令f′(x)＝0，即－k＝0，得x＝1＋.当x∈

17、(1,1＋)时，f′(x)>0；当x∈(1＋，＋∞)，f′(x)<0.则f(x)在(1,1＋)上是增函数，在(1＋，＋∞)上是减函数．(2)当k≤0时，f(2)＝1－k>0，故f(x)≤0不能恒成立，所以只需考虑k>0.当k>0时，由(1)知[f(x)]max＝f(1＋)＝－lnk.要使f(x)≤0恒成立，则－lnk≤0，得k≥1.故实数k的取值范围为[1，＋∞)．