安通学校gct数学内部讲义

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1、五、中值定理与导数应用【大纲要求】微分中值定理与导数应用：中值定理，导数的应用。1．中值定理（1）Rolle定理：若，且，则存在，使得。（2）Lagrange中值定理：若，则存在，使得。（3）柯西中值定理：若，且，则存在，使得。2．洛必达法则（1）型：（2）型：（3）其他不定式（）3．函数的单调性与极值（1）函数单调性的判别法，则在内单调增加；，则在内单调减少。可能的极值点：和不存在的点；（2）函数极值点的求法定理设函数在点处连续，1）若在点左正右负，则为极大值；2）若在点左负右正，则为极小值。定理设函数在点处二阶可导，且，则1）若，则为极大值，为极大值点；2）若，则为极小值，为极

2、小值点；第12页，共12页3）若，判别法失效。4．函数的凹凸性和拐点（1）函数的凹凸性和拐点的概念定义如果在区间内，曲线弧位于曲线上每一点的切线的上方，则称曲线在区间内是凹的（或称为上凹的）；如果在区间内，曲线弧位于曲线上每一点的切线的下方，则称曲线在区间内是凸的（或称为下凹的）。（2）函数凹凸性的判别法定理（曲线凹凸的充分条件）设函数在区间内二阶可导，如果在内的每一点，恒有，则曲线在内是凹的；如果在内的每一点，恒有，则曲线在内是凸的。注：若，本定理失效。求凹凸区间和拐点的步骤：步1求出和不存在的点；步2利用点将函数的定义域分成几个小区间；步3在每个小区间上利用的符号给出函数的凹凸

3、性结论。（3）函数拐点的求法定义曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点。的点不一定是拐点。拐点要用坐标来表达，如注若，但，则为函数的拐点。5．曲线的渐近线（1）水平渐近线：或，（2）铅直渐近线：或，（3）斜渐近线：，，例1求下列极限第12页，共12页（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7），（8），例2求函数的单调区间和极值点．解，由得．单增区间为，单减区间为和．是极小值点，是极大值点．例3当为何值时，点可能为的拐点，此时函数的凹凸性如何？解由点在曲线上和拐点处的二阶导数为零，得解得．由于，所以为函数的凹区间，为函数的凸区间，点是的拐点．第12页，共12页例4设函数在上二阶

4、连续可导，且，，试判断是否为的极值点？是否为的拐点？解因为，所以在附近，从而，因此不是的拐点。由于，所以单增，又，从而易知是的极小值点。例5曲线的渐近线有（）条。解因为，所以铅直渐近线的方程为。又因为，所以斜渐近线的方程为。例6证明．简证令，则，且，所以，即．例7证明下列不等式（1），简证由于，其中，所以。（2）；简证令，则，所以当时，，即，故．（3）．简证令，由得，由于第12页，共12页，所以函数在区间上的最大、最小值分别为和，从而有．例8讨论方程的实根情况．解令，由得，从而是函数的单减区间，和是函数的单增区间，极大值为，极小值为．由于所以当时，原方程只有一个实根，位于内；当时，

5、原方程有两个不同实根，一个为，一个位于内；当时，原方程有三个不同实根，分别位于，，内；当时，原方程有两个不同实根，一个为，一个位于内；当时，原方程只有一个实根，位于内．例9证明方程至多有两个不同实根．简证：令，若有多于两个不同的实根，根据Rolle定理便知至少有两个不同实根，至少有一个实根，这与矛盾．例10设函数在上可导，，证明．简证：由于，所以存在使得当时，有.当时，根据Lagrange定理，有，，从而，故有．第12页，共12页例11以下结论正确的是（）A．函数的导数不存在的点，一定不是的极值点B．若为函数的驻点，则必为的极值点C．若函数在点处有极值，且存在，则必有D．若函数在点

6、处连续，则一定存在例12设函数的导函数的图像如图所示，则下列结论肯定正确的是（）A．是驻点，但不是极值点B．不是驻点C．为极小值点D．为极大值点六、不定积分【大纲要求】不定积分的概念，不定积分的计算。1．原函数与不定积分（1）原函数的定义：，则称是在该区间上的一个原函数，或称是的原函数。（2）不定积分的定义：（3）不定积分的性质1)，或，先积分后求导结果为被积函数。2)，或，先求导再积分差一个常数。（4）运算法则：1)。2)。第12页，共12页（5）基本积分公式1）；2）；3）；4）；5）；6）；7）；8）；9）；10）；11）。2．不定积分的换元积分法（1）第一换元积分法（凑微分

7、法）；主要解决：复合函数的积分问题。例如：（2）第二换元积分法解决被积函数含有根式的积分（目的去根号）(1)三角函数替换被积函数含有时，常设，被积函数含有时，常设。例如：令，则被积函数含有时，常设。(2)去根号第12页，共12页被积函数含有时，常设。（3）倒代换（4）其他代换如：3．不定积分的分部积分法：主要解决(1)被积函数是两类不同函数的乘积；(2)被积函数是对数函数或者是反三角函数。例1若的导函数为，则的一个原函数是（）A.B.C.D.例2已知的一个原函数为，求