2010年安通学校gct数学内部讲义22

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1、四、导数与微分【大纲要求】导数的概念，求导法则及基本求导公式，高阶导数，微分。1.导数概念（1）导数的定义导数:小）+心）一/（勺）山toAx山toAxXT心X-X（）左导数血°）=Av->0~右导数Edlim〃。+心）7（心J+0山"心结论：/Vo）=aoyr（x0）=y；（x0）=ao用于讨论分段函数在分段点处的可导性。（2）导数的几何意义；切线方程：y-/（x0）=/z（x0）（x-^0）法线方程:1八兀0）（兀_兀0）3)(a')=axa(a>0,4)/1(log“x)=-10ga1e=Xxina5)/(sinx)=cos兀

2、7)(tanx/=1,COS-X=sec2x1)(C)Z=0(C为常数)GH1),特别(a>0,aH1),特别(lnx)=—兀（3）可导与连续的关系：可导必连续，但是连续不一定可导。2.导数运算（1）基本导数公式2)(xaY=caa~}(Q为任意常数)6)(cosx)=-sinx8)(cotx)==-esc2xsirrx(-1

3、v+wvz:推论:(kuY=ku‘(£为常数)；3)(uUJuv-uv(3)复合函数的链导法设y=/(u),u=e(x),且于(u),卩(兀)都可导,则复合函数y=f[(p(x)]的导数为dxdudx上述复合函数的求导法则可以推广至多个屮间变量的情形。dydydudv———•—•—dxdudvdx(4)隐函数的求导法方法一：直接对方程F(x,y)=0两边关于兀求导，视y是中间变量，利用复合函数求导法则求导，最后解出y(在『的表达式中允许含有丿)。方法二：利用多元函数的偏导数的知识求解。乂=—siny+y,1=—cosyy+y,0=—[

4、-siny(/)24-cosyy"]+y"(5)反函数的求导法丄dzdx=dr一d3(6)幕指函数求导法:严心叫2=推)5中=畑+中，(7)参数方程所确泄的函数的求导法设y=y(X)^X=^所确定，其中(P⑴,0(0为可导函数，且0(/)H0,则dy虬也二必)dxdx0(r)dt3.髙阶导数(1)高阶导数的概念：/⑺⑴二[/("T)(x)]‘(-l)f-1)!(l+x)〃(2)常见的儿个函数的高阶导数(sinx)(,?)=sin(x+z?彳)，(cosx)""=cos(x+"彳)(3)隐函数、参数方程二阶导数的求法4.微分概念(1)微

5、分的定义：/(x0+Ar)-f(x0)=A(xq)Ar4-Ar),d/(x0)=A(%0)Ar(2)可微与可导的关系一微分计算公式;可导必可微；可微必可导。df(x0)=fxQ)dx.运算规则：1)d(w±v)=du±dv；2)d(ku)=kdu(k为常数)。(3)微分的几何意义：y-f(xQ)=ff(x0)(x-xQ)=df(x0)【重要公式和结论】1.若f(x)在x=x0处连续，则lim广⑺)存在为Ao/*(x0)=0且/z(%0)=A.XTXo兀一兀0lim丿空存在为Ao/(xo)=O且＜(x0)=Aof()X一x()2.周期为

6、T的函数f(x)的导函数(兀)还是周期函数，周期还是To奇函数的导函数为偶函数；偶函数的导函数为奇函数。3./(X)=x在x=0处连续但是不可导；/(x)=xx在x=0处可导。例1己知f'g)存在，求下列极限的值/Vo)；(1)lim/(兀0)-/("")=Um/(兀0—)-/(")〃t0hh->0-h⑵lim/(勺+力)--力)二]jm[/So+力)二/So)]+[/(兀0)一/(兀0二力)]二f(X)D2h~/2->O2/?~j°例2研究函数/(x)屮"sm；,兀>0,在“o处的可导性.0,x=0解因为lim=Um严】sin丄,所以

7、当a-l>Q,即a>l吋，函数XT0十XXT0+Xsin-X0,X>0,在x=0处可导，且屛(0)=0；当a0.解因为lim/(兀)=0,lim/(x)=b,所以b=0；xt(Txt0+丫2_()HY_f)又因为/"(0)=lim-—=0,4(0)=lim——=a,所以a=0.xtO一x—0x—>0+X—0例4设/(x)在x=0处可导，且当xHO时/(x)^0,已知/(0)=0,广(0)=2,求极限

8、丄lim(l-2/(x))sinxoxtO1解lim(l-2/(x))sin^xtO=lim(1-2/(x))~2/Wx―02/U)-/(0)sinx-4=e例5己知/(x)=xg(x),且g(x)在x=0