2010年安通学校GCT数学内部讲义5

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1、四、函数1．定义自变量的取值范围叫做函数的定义域。考点：常见的一些函数的定义域：1）函数的定义域是；2）函数的定义域是；3）函数（）的定义域是。例1（1）函数的定义域是。（2）函数的定义域是（　　）A．B．C．D．例2（1）设函数的定义域为区间，且，则函数的定义域是区间（　　）　　A．B．C．D．(2)已知函数的定义域为，求函数的定义域．由得的定义域为。(3)设函数的定义域为，则函数的定义域是（）　A．B．C．D．例3已知,求的表达式．解：令得，故。例4已知，求的表达式．第8页，共8页解：根据得，即，从而。。例5已知函数，则（　　）　A、B、C、D、例6

2、设，求的表达式．解：根据得，解方程组得，令得，所以。212101-1例7函数是定义在上的周期为3的周期函数,图3表示的是该函数在区间上的图像,则的值等于()A．B.0C.2D.4分析：本题考察周期函数的函数值的问题。由图像知第8页，共8页，且所以，。2．函数的四个性质（几何性质）（1）函数的单调性（函数的增减性）定义设函数在区间内有定义，在区间内任取两个点，当时,恒有，则称函数在区间上是增函数；当时,恒有,则称在区间上是减函数。如果函数在区间上是增函数或减函数，就说函数在该区间上具有单调性，此区间叫做的单调区间。特点：增函数图象的曲线从左向右上升，减函数

3、图象的曲线从左向右下降。（2）函数的奇偶性（函数图像的对称性）定义设函数在内有定义（定义域D要关于原点对称），如果对于区间内的任意点，恒有，则称为内的偶函数；如果恒有，则称为内的奇函数。特点：偶函数关于轴对称，奇函数关于原点对称。（3）函数的周期性（图像重复出现性）定义给定函数，若存在常数，对于任意的，恒有，则称为周期函数。最小正数称为的最小正周期。如：，周期为；周期为。（4）函数的有界性（变化过程有阻挡）定义设函数在区间内有定义，如果存在常数，对于任意的都有，则称在内是有界函数。否则称为无界函数。第8页，共8页常见的有界函数：，，例8研究下列函数的奇偶

4、性（1），解：因为对任意的，都有定义，且，所以是奇函数。（2）解：因为，所以函数是奇函数。（3）．偶函数例9已知函数的周期是，求函数的周期．解：欲找，使得，即，故，。所以函数的周期为。3.反函数1）→→2）原函数的定义域是反函数的值域；原函数的值域是反函数的定义域。3）互为反函数的两个函数，其图像一定关于直线对称。如：与互为反函数。（且）注意：与的图像是一样的。4.正比例函数(1)表达式（），定义域为(2)图像：过原点的一条直线.(3)性质：第8页，共8页1)当时，图象在第一、三象限内，且随的增大而增大；当时，图象在第二、四象限内，且随的增大而减小。2）

5、越小，图像越接近于轴；越大，图像越远离轴。3)它是一个奇函数。5.一次函数（1）表达式（为常数，），为轴上的截距。定义域为。若，则一次函数就是正比例函数。（2）图像：过点求平行于直线的一条直线。（3）性质：1)当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小。2）越小，图像越接近于经过点的轴的平行线；越大，图像越远离经过点的轴的平行线。例10已知为一次函数，且，，则。6.反比例函数(1)表达式（），定义域为（2）图像：双曲线。（3）性质：1)当时，函数图象的两个分支分别分布在第一、三象限内，且每一个分支，随的增大而减小；当时，函数图象的两个分支分别分布在第二、

6、四象限内，且每一个分支，随的增大而增大。2）以轴为渐近线（两个分支都无限接近但永远也不能达到轴或轴。）3)它是一个奇函数。例11已知P为反比例函数图像上的一点，过P分ＰＭＮ别作两坐标轴的平行线，交ox轴于M，交oy轴于N，则的面积为第8页，共8页A.B.1C.D.分析：如图，的面积为，即正确选项为C。7.二次函数（1）表达式（），定义域为。（2）图像：为开口向上的抛物线，为开口向下的抛物线。（3）顶点式，顶点，对称轴。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　-101　　　5　　　　　　　　　　　

7、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　-5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　9　　　　　　　　　　　　　　　　　　当时，时取得最小值，值域为；当时，时取得最大值，值域为。（4）两点式。（5）二次函数与图象之间的关系开口方向、形状、大小都相同，但位置不同。例12（1）抛物线的顶点坐标是，对称轴是（2）设二次函数的图像交轴于和两点，则该图像的对称轴方程为（）A.B.C.D.例13已知函数的图像是以点为顶点的抛物线，并且这个图像经过点，求第8页，共8

8、页的值。例14函数在上单增的充要条件是（）A．且B．且C．且D．且例15设二次函