高三数学一轮复习 7.6 空间向量的运算及空间位置关系导学案 理

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1、广东省惠阳市第一中学高三数学一轮复习7.6空间向量的运算及空间位置关系导学案理【学习目标】1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。【重点难点】重点：空间向量的运算及其坐标表示难点：能用向量的数量积判断向量的共线与垂直【使用说明及学法指导】①要求学生完成知识梳理和基础自测题；限时完成预习案，识记基础知识；②课前只独立完成预习案，探究案和训练案留在课中完成预习案一、知识梳

2、理1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有和的量叫做空间向量．(2)相等向量：方向且模的向量．(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相的向量．(4)共面向量：的向量．2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.推论：如图所示，点P在l上的充要条件是＝＋ta①其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则①可化为＝＋t或＝(1－t)＋t.(2)共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为

3、不共线向量，推论的表达式为＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝____.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两

4、个非零向量a，b，则

5、a

6、

7、b

8、cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝

9、a

10、

11、b

12、cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔，，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b⇔a·b＝0⇔(a，b均为非零

13、向量)．(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

14、a

15、＝＝，cos〈a，b〉＝＝.设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB＝

16、

17、＝.二、基础自测1．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(a＋b)·(a－b)的值为________．2．下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0；②

18、a

19、－

20、b

21、＝

22、a＋b

23、是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若＝x＋y＋z(其中x、y、z∈

24、R)，则P、A、B、C四点共面．其中不正确的所有命题的序号为__________．3．同时垂直于a＝(2,2,1)和b＝(4,5,3)的单位向量是____________________．4．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)A．－a＋b＋cB．a＋b＋cC．－a－b＋cD．a－b＋c5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　)A．EF至多与A1D、AC之一

25、垂直B．EF与A1D、AC都垂直C．EF与BD1相交D．EF与BD1异面探究案一、合作探究例1、三棱锥O—ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，.例2、已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝(＋＋＋)．例3、已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．(1)求以，为边的平行四边形的面积；(2)若

26、a

27、＝，且a

28、分别与，垂直，求向量a的坐标．二、总结整理训练案一、课中训练与检测1.如图所示，ABCD－A1B1C1D1中，ABCD是平行四边形．若＝，＝2，若＝b，＝c，＝a，试用a，b，c表示.2.如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，D为BC