[理学]高等代数基础习题答案

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1、第一章多项式§1数域一填空题1．加法、减法、乘法；2.加法、乘法；3.加法、减法、乘法.二判断题1.(T)；2.(F)三、解答题1．证明显然.对任意的,=+;.当时,.故对加法减法乘法除法封闭.即是数域.2．证明因为,.即对乘法不封闭.所以不是数域.3．证明由于任意数域都包含有理数,故也包含有理数域,从而包含有理数域.令,则,.由于是数域,故,;当时,,所以.即是数域.例如:取=,,容易验证不一定是数域;取=,,显然=是数域.§2一元多项式一填空题1．，，，；2.（i），（iii）（v）；3.0，非零常数；4..二判断题1．(F)；2.(F).;3.(F).三解答题1．解因为

2、.利用多项式相等的定义的:(i)(ii)(iii)即(i)当时,为零次多项式;(ii)当时为零多项式;(iii)时是一次多项式.2．证明设，，则的第次项系数为=0,当得,当时得,进而,同样地,得到…….因此§3整除的概念一填空题1．，，，，，，，，；2.，.二判断题1.(F)；2.(T)；3.(F);4.(F);5.(F)三解答题1．解利用带余除法得，所以，即.2．证明,利用整除性的性质，我们有，即.3．证明若,不整除与则存在常数,使,所以,由于,所以,得出矛盾.即不能整除证明由于三次单位根都是的根，即的根都是的根.从而.4.证明因为其中是三次单位虚根,而,即,再利用互素得到

3、,即5．证明①如果,因为,由整除性性质得:,即,与矛盾,所以.§4最大公因式一、填空题1．零次多项式；2.零多项式;3.多项式为零次多项式;4.,为零次多项式;5.;6.互素.二、判断题1．F；2.F;3.F;4.T;5.F;6.F.二、解答题1.解:通过辗转相除法求得,.2.证明:设,容易证明是的公因式;对的任意公因式,容易证明它是的公因式,从而它整除于的最大公因式.即的任意公因式整除于它的公因式,所以是的最大公因式.3.证明:,,则存在与,使,,以上两式相乘容易得到,故.反过来若，则存在，使，若令，则有，故，同样的若令，则有，故.4.证明：首先利用上题及归纳法容易证明，若

4、，，同样的利用归纳法证明.§5因式分解定理一、填空题1.;2.不整除于；3.不可约,不可约,可约;4.;5.1.二、判断题1.T;2.F;3.F.三、解答题1.解在有理数为不可约多项式,因此在有理数的分解式为其本身.在实数域:在复数域上:.2.证明:若不可约,由,则或.若成立,又(+),所以,则成立;同样地若成立利用(+)得到成立.总之有与同时成立.若可约,上述结论不成立.事实上取则且(+),但即不整除也不整除.3.是不可约多项式.证明如下:若可约,则存在,使,利用题设可以得出(,)=1或者,而事实上,这两种结果都不能成立.因此可约的假设不正确.4.证明:必要性.设(为不可约

5、多项式),显然对任意的,若,则,若,则,即存在正整数,使.充分性:设,取,则(,)=1不成立,且对任意正整数,不成立.故不成立.即是不可约多项式的方幂.§6重因式一、填空题1.,与,4与3;2.;3.;4.;5..二、判断题1.F;2.T;3.F.三、解答题1.解:(1)利用辗转相除法容易求出,所以=无重因式.(2)同(1).2.解：容易计算，所以是的二重因式，又，故=.1.证明:,.故无重因式.4.解:显然当时，有三重因式，当时无重因式；当时，当时，，有二重因式.§7多项式函数一、填空题1．零多项式；2.-12,0(二重),3,-1,0,2;3.;4.是的根;二、判断题1．

6、F；2.F;3.F;4.T.三、解答题1．解利用拉格朗日插枝公式2.证明：，所以=1.所以无重根.§8复数域与实数域上多项式的因式分解一、填空题1．一次多项式，一次与部分二次不可约多项式；2.；3.2，；4.，.二、解答题1．解：在复数域上,在实数域上.2.证明:若无实根,则该多项式全是虚根,而实系数多项式的虚根成对出现,因此与多项式是奇数次的矛盾.1．证明:首先多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变.因此若在实数数域上不能整除于，则无论在实数数域还是复数域均有而事实上在复数域上不成立.因此在实数域上整除于.§9有理数域上多项式一、填空题1．1，1或2，任意正整数；2.可能可

7、约也可能不可约；3.二、判断题1．T；2.F（若是非零多项式正确）；3.T.三、解答题1．解：；2．解：，取，利用Eisenstien判别法即得不可约；，令，则，取，利用Eisenstien判别法即得不可约，从而不可约；，令，则，取利用Eisenstien判别法即得不可约，从而不可约.3.解：的所有可能根是：，因为的各项系数之和不等于0，奇次项系数之和等于0，所以-1是根，1不是根.容易利用综合除法验证都不是根.1．证明：因为无有理根，而是的根，因此它不是有理数，从而是无理数.§10多元多项式一、填空题