[理学]高等代数基础习题答案 (2)

《[理学]高等代数基础习题答案 (2)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第九章欧几里得空间§1定义与基本性质一、填空题1．；2.正交；3.;4.正定矩阵;5..二、判断题1.T;2.T;3.T;4.T.三、解答题1.证明:容易验证欧氏空间定义的公理化条件都成立.因此对所规定的内积构成欧氏空间.2.解:所以该基的度量矩阵为.3.解:设为与都正交的单位向量,则,解方程组的.§2-§3标准正交基●同构一、判断题1.F;2.T;3.F;4.F.二、填空题1.小于等于n;2.正交.一、解答题1.解令,然后单位化得出的一个标准正交基:.2.解:令,对单位化得的一组标准正交基:§4正交变换一、判断题1.F;2.T;3.T.二、解答题1.解:因为关于标准正交基的矩阵为,

2、显然它是一个正交矩阵,因此是一个正交变换.2.证明:由于正交变换是保内积变换因此也是保长度变换,故必要性易证.往证充分性:由,即,利用内积的定义与条件容易得到.故是正交变换.§5子空间一、判断题1.T;2.T;3.T.二、解答题1．解：（法一）先对扩充为的基，求出标准正交基。由于为的基，对它们正交化容易求出正交基：，则。（法二）解齐次线性方程组得基础解系，从而2．解：(1)容易验证是齐次线性方程组的一组基础解系，故其解空间，对施行单位正交化方法可求解空间的一标准正交基:.(2)是线性方程组的解空间。的基础解系的一组基础解系为，故。并求。1．证明:，令，因为的任意解向量都于正交，故的解

3、空间为。所以有解可由线性表示，即的解空间正交。§6对称矩阵的标准形一、判断题1.F;2.F;3.F;4.F.二、解答题1．取的标准正交基容易计算在该基下的矩阵是为对称矩阵，从而是的一个对称变换。2．证明：设是的两个对称变换，则关于标准正交基的矩阵都是对称矩阵，因此关于标准正交基的矩阵也是对称矩阵，从而是对称变换。3．解：先求的特征根及相应的特征向量。因此矩阵的特征值为对特征值得到，然后单位化得到；对于特征值得到，然后单位化得到；对于特征值得到，然后单位化得到；取，则3.设对称矩阵,试求正交矩阵，使为对角形。§7-§8向量到子空间的距离●最小二乘法●酉空间介绍[达标训练习题解答]1．解

4、最小二乘解所满足的代数方程为即解之得为所求的最小二乘解。第九章测试题一、填空题1．；2。若，则；3。；4．；1．。二、判断题1．（F）；2。（T）；3。(F);4.(T);5.(F);6.(T).三、选择题1．（C）；2。（A）；3。（B）。四、解答题1．解容易计算矩阵的特征值为，。容易计算出是矩阵的属于特征值3的单位正交的特征向量；是矩阵的属于特征值7的单位正交的特征向量。故取，则。2.解令，，再令则它们是一个标准正交基。3.证明（1）设，则。故。（2）因为对任意，，根据内积的性质知，即。4．解首先把正交化、单位化得到，然后再把它扩充为的标准正交基，故5.证明：因为，分别取的标准正

5、交基，则是的标准正交基。又是正交变换，故有是标准正交基，但因是-子空间，故是的标准正交基，从而是的标准正交基，于是也是-子空间。