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1、为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划高数积分总结 第九章二重积分 【本章逻辑框架】 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 二重积分的概念与性质 【
2、学习方法导引】 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D成n个小区域??1,??2,
3、?,??n的分法要任意，二是在每个 小区域??i上的点(?i,?i)???i的取法也要任意。有了这两个“任意”， 如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值??0时总有同一个极限，才能称二元函数f(x,y)在区域D上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1)若在D上f(x,y)≥0，则??f(x,y)d?表示以区域D为底，以 D f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当f(x,y)＝1时，??f(x,y)d? D 表示平面区域D的面积。 (2)若在D上f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方，二重积分??f(x,y)d?的值是负的，其绝对值为该
4、曲顶柱体的体积 D目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 (3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上为负的，则??f(x,y)d?表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 D (即在Oxy平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两
5、个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数f(x,y)在闭区域D上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值，再应用估值不等式得到取值范围。 【主要概念梳理】 1.二重积分的定义设二元函数f(x,y)在闭区域D上有定义且有界. 分割用任意两组曲线分割D成n个小区域??1,??2,?,??n，同时用??i表示它们的面积，i?1,2,?,n.其中任意两小块??i和??j(i?j)除边界外无公共点。??i既表示第i小块,又表示第i小块的面积. 近似、求和对任意点(?i,?i)???i,作和式?f(?i,?i)?
6、?i. i?1n目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 取极限若?i为??i的直径，记??max{?1,?2,?,?n},若极限 lim?f(?i,?i)??i??0i?1n 存在，且它不依赖于区域D的分法，也不依赖于点(?i,?i)的取法，称此极限为f(x,y)在D上的二重积分.记为 ?f(?,?).??f(x,y)d??lim?D?0ii i?1n 称f(x,y)为被积函数，
7、D为积分区域，x、y为积分变元，d?为面积微元(或面积元素). 2.二重积分??f(x,y)d?的几何意义 D (1)若在D上f(x,y)≥0，则??fx(,)yd D以f(x,y)?表示以区域D为底， 为曲顶的曲顶柱体的体积. (2)若在D上f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方，二重积分??f(x,y)d?的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 D (3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正
