高数下册各类积分方法总结.doc

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1、综述：高数下册，共有如下几类积分：二重积分，三重积分，第一类线积分，第二类线积分，第一类面积分，第二类面积分。其中，除线积分外，个人认为，拿到题后，首先应用对称性把运算简化，线积分的对称性，不太常用，可以参照面积分的对称性，将积分曲面换成积分曲线即可，恕不赘述。另外要注意线积分和面积分的方向性，线积分以逆时针为正方向，面积分以坐标轴正向为正方向。二重积分对称性：积分区间D关于X轴对称：被积函数是关于Y的奇函数，则结果为0：                                被积函数是关于Y的偶函数，则结果为在一半区间上积分的2倍方法：分别对x、y积分

2、，将其中一个变量写成另一个的表达形式

3、

4、极坐标换元三重积分对称性：积分区间Ω关于xy面对称：被积函数是关于z的奇函数，则结果为0；                                被积函数是关于z的偶函数，则结果为在一半区间上积分的2倍方法：先重后单

5、

6、先单后重（极坐标）

7、

8、柱坐标

9、

10、球坐标第一类线积分x,y,z型：具有关于参数t的表达试，用基本公式，转化成关于t的积分x,y型：排除上一种条件的话，通常将y表示为关于x的函数，转化成关于x的积分第二类线积分方法：1、用曲线的切线的方向角余弦，转化成第一类线积分2、有参数t，可以转化成关于t的积分3、

11、将y表示为关于x的函数，转化成关于x的积分4、封闭曲线，通常自己构造，可采用格林公式转化为二重积分另：注意与路径无关的积分第一类面积分对称性：积分曲面关于XY面对称：被积函数是关于z的奇函数，则结果为0：                                被积函数是关于z的偶函数，则结果为在一半曲面上积分的2倍计算方法：常规的话，只有一种，转化为关于x或y或z的积分。详见书本上的公式。  第二类面积分对称性:积分曲面关于XY面对称：被积函数是关于z的偶函数，则结果为0：                                被积函数是关于z的

12、奇函数，则结果为在一半曲面上积分的2倍（注意区别于第一类）计算方法：1、用曲面的切线的方向角余弦，转化成第一类面积分2、转化为二重积分，直接在前面添正负号即可3、封闭曲面，可以用高斯公式，转化为三重积分，一般封闭曲面都是人为构造的，所以注意减掉构造面，并注意方向4、斯托克斯公式，转化为第二类线积分，不常用PS：用函数表达式，可以化简线面积分的被积函数，另有积分相关考点，旋度，散度，质量，质心，转动惯量，求曲面侧面面积，顶面面积，曲顶柱体体积~~~多多复习，牢记公式，一定可以渡过积分这个难关~