高数积分总结.doc

《高数积分总结.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、高数积分总结一、不定积分1、不定积分的概念也性质定义1：如果在区间I上，可导函数F（x）的导函数为f(x)，即对任一,都有F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数。定义2：在区间I上，函数f（x）的带有任意常数项的原函数称为f（x）（或者f(x)dx）在区间I上的不定积分，记作。性质1：设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则。性质2：设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则。2、换元积分法(1)第一类换元法：定理1：设f(u)具有原函数，可导，则有换元公式。

2、例：求解将代入，既得(2)第二类换元法：定理2：设是单调的、可导的函数，并且又设具有原函数，则有换元公式其中是的反函数。例：求解∵，设，那么，于是∴∵，且∴，3、分部积分法定义：设函数及具有连续导数。那么，两个函数乘积的导数公式为移项得对这个等式两边求不定积分，得此公式为分部积分公式。例：求解∴分部积分的顺序：反对幂三指。4、有理函数的积分例：求解∵，故设其中A,B为待定系数。上式两端去分母后，得即比较上式两端同次幂的系数，既有从而解得于是其他有些函数可以化做有理函数。5、积分表的查询二、定积分1、定积分的定义和性质（1）定义：设函数在

3、上有界，在中任意插入若干个分点把区间分成n个小区间各个小区间的长度依次为在每个小区间上任取一点，作函数值与小区间长度的乘积，并作出和记，如果不论对怎么划分，也不论在小区间上点怎么选取，只要当时，和总趋于确定的极限，那么称这个极限为函数在区间上的定积分(简称积分)，记作，即其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间。定理1：设在区间上连续，则在上可积。定理2：设在区间上有界，且只有有限个间断点，则在上可积。（2）性质1：性质2：(k是常数)性质3：设，则性质4：如果在区间上，则性质5：如果在区

4、间上，，则推论1：如果在区间上，，则推论2：性质6：设M及m分别是函数在区间上的最大值和最小值，则性质7(定积分中值定理)：如果函数在积分区间上连续，则在上至少存在一个点，使下式成立2、微积分基本公式(1)积分上限函数及其导数定理1：如果函数在区间上连续，则积分上限的函数在上可导，并且它的导数定理2：如果函数在区间上连续，则函数就是在区间上的一个原函数。(2)牛顿-莱布尼茨公式定理3：如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，则3、定积分的换元法和分部积分法(1)定积分的换元法定理：假设函数在区间[a,b]上连续，函数x=(t)满足条件:

5、(α)=a,(β)=b;(t)在[α,β]上具有连续导数，且其值域=[a,b],则有(1)公式(1)叫做定积分的换元公式(2)定积分的分部积分法依据不定积分的分部积分法，可得二、反常积分（一）无穷限的反常积分定义1设函数法f(x)在区间[a,)上连续，取t>a,如果极限存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,)上的反常积分，即（二）无界函数的反常积分定义2设函数f(x)在(a,b]上连续，点a为f(x)的丅点。取t>a,如果极限存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的反常积分，仍然记作，即=例题讨论反常积分的收敛性。解：被积

6、函数f（x）=在积分区间[-1,1]上除x=0外连续，且由于即反常积分发散，所以反常积分发散定积分的积分区间是有限区间，又在上是有界的，如果积分区间推广到无穷区间或推广到无界函数，就是两种不同类型的反常积分：1.无穷区间上的反常积分（1）概念定义：若极限存在，则称反常积分是收敛的，它的值就是极限值；若极限不存在，则称反常积分是发散的，而发散的反常积分没有值的概念.同样有收敛和发散的概念，收敛的反常积分有值的概念.同样有收敛和发散的概念，收敛的反常积分有值的概念，值得注意：判断的收敛性不能用的极限存在性.必须要求和两个反常积分都收敛，才能

7、知道是收敛的，但是如果已经知道是收敛的，而求它的值，那么计算是可以的.（2）常用公式，2.无界函数的反常积分（瑕积分）（1）概念：①设在内连续，且，则称b为的瑕点，定义若极限存在，则称反常积分收敛，且它的值就是极限值.若极限不存在，则称反常积分发散，发散的反常积分没有值的概念.②设在内连续，且，则称a为的瑕点，定义若极限存在，则称反常积分收敛，且它的值就是极限值，若极限不存在，则称反常积分发散，它没有值.③设在和皆连续，且，则称c为的瑕点，定义(值得注意：这里判别收敛性时，和要独立地取极限，不能都用来代替)若上面两个极限都存在时才称反常

8、积分是收敛的，否则反常积分发散.（2）常用公式：类似地考虑和最后指出：由于反常积分是变限积分的极限，因此原则上由定积分的运算法则和极限的运算法则就可以得到反常积分的运算法则.(乙)典型例题一、用常规方法计算