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1、圆的相关概念及垂径定理学习目标：应通过研究圆的基本性质，重点掌握垂径定理及其推论，圆心角与弧、弦的关系的定理及其推论.学法建议：園圆是平面儿何知识中接触到的唯一的曲线形，因此它在研究问题的方法上与直线形有很大的不同，所以在学习这部分知识时要注意这个问题•另外，这一章的概念和定理较多，学习时要注意阶段性的小结，巩固每一阶段的知识.由于本章要经常用到前面学过的许多知识，综合性较强，所以要不怕困难，才能学好木章.学习内容精析：園—、圆的定义曲在一个平面内，线段0A绕它周定的一个端点()旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆.固定的端点0叫圆心，线段0A叫半
2、径.以0为圆心的圆记作：00,读作：00.圆心为0,半径为r的圆，可以看作是所有到定点0距离等于定长r的点组成的图形.要确定一个圆，需要定圆心、定半径.圆心相同的圆叫同心圆.半径相等的儿个圆叫等圆.问题：为什么车轮做成圆形？把车轮做成圆形，车轮上各点到圆心的距离都等于圆的半径，当车轮在地面上滚动的时候，车轮屮心与平面的距离保持不变，因此，当车在平坦的路上行驶时，坐车的人会感到非常平稳.的有关概念应连接圆上任意两点的线段叫做弦.过圆心的弦叫做直径，直径是半径的两倍，氏径是圆屮最长的弦.圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作石，读
3、作弧AB.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，任意一条非直径的弦的两个端点把圆分成两条弧,大于半圆的叫做优弧，小于半圆的叫做劣弧.为了区分，一般优弧用三个人写字母表示，记作殛.一条弦对两条弧.能够完全重合的两条弧叫做等弧.等弧包含着两层意思，既要弧度等，又要长度等，所以等弧只在同岡或等岡屮出现.例1：如图，A、B、C为00上的三点，AB为直径，0D丄BC于D,0D=3,求弦AC的长度.分析：图中有什么基本图形？有什么基木图形中的元索？猜想已知线段与所求线段有什么关系?需要什么？解：连接0CI0C=0B,0D丄BC于DB・•・
4、BD=DC・.・B0二0A・・・AC=20D=6小结：1.同圆或等圆的半径相等，是圆中一个隐藏的数量关系，在同圆中，见到两条半径就要想到等腰三角形.2.圆屮计算和证明的难点，在于直线形屮的定理和圆屮的定理的综合运用，见到一•条线段或一个角要分析是圆中的什么元素，是直线形中的什么元素，并在两种基本图形Z间进行转化.岡屮的特殊的数量关系提供条件，在直线形中进行计算，是这一章计算问题的常规思路.三、圆的轴对称性：鹵圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.我们在一个岡屮任画一条直径并沿之折叠，直径左右两个半圆能够完全重合.如图，CD是。0的直径，
5、点C、D的对称点是它木身，一个半圆上任取一点A,另一个半圆上一定有一个点B与Z对称.C四、垂径定理：鹵观察图形：AB是的一条弦，作直径CD丄AB于E,这个图形是轴对称图形吗?对称轴是谁？图屮有哪些相等的线段和弧?你能证明你的结论吗？D已知：在00中，CD是直径，AB是弦，CD丄AB于E.求证:AE=EBDA=DBCA=CB证明:连结OA、0B,则OA=OBICD丄AB对称轴CD・・・直线CD是等腰AOAB的对称轴，又是00的・・・沿着肖径CD折叠时，CD两侧的两个半岡重合,A点和B点重合，AE和BE重合,刃、①分别和丽、爲重合AAE=BE,DA=DB
6、,CA=DB,从而得到圜的一条重要性质：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.几何符号语言表述：00中，ICD是直径，AB是弦，CD丄AB于E・•・AE=EB,DA=DBCA=CB■分析定理：这个定理的条件、结论分别是什么？为了便于理解可以叔述为：如果一条直线满足过圆心、垂直弦，一定可以平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧.主语是一条直线，两个条件推三个结论.可以利用垂径定理来证明线段等和弧等.垂径定理的推论：如果把定理的条件和结论换一换：如果一条直线过圆心、平分弦（不是直径），会得到什么结论？平分弦（不是玄径）的直径垂直于弦
7、，并且平分弦所对的两条弧.儿何符号语言表述：中，・・・CD是直径，AB是非直径的弦，AE二EB・・・CD丄AB于E,DA=DBCA=CB为了便于理解可以叙述为：如果一条直线满足过圆心、平分弦（非直径），一定可以垂直弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧.需要特别注意：“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?B垂径定理及推论是圆的轴对称性的具体体现，用来证明线段等、弧等、垂H关系.例2：（1）如何把一条弧二等分？分析：利用圆的轴对称性，点A、点B为对称点，对称轴是对应点连线的垂直平分线，所以作弦AB的垂直平分线BO就可以把弧
8、二等分.思考：如何把一条弧四等分？（2）利用上面的结论，如何确定一条弧的圆心？分析：岡的対称轴即肖•径所在直
