高中数学 第2章 平面向量 2_4 向量的数量积课堂导学 苏教版必修41

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1、在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求高中数学第2章平面向量2.4向量的数量积课堂导学苏教版必修4三点剖析1.平面向量数量积的概念及其运算律【例1】已知

2、a

3、=4，

4、b

5、=3，若：（1）a∥b；（2）a⊥b；（3）a与b的夹角为60°，分别求a·b.思路分析：本题运用数量积的定义求数量积.已知

6、a

7、与

8、b

9、，a与b的夹角，由定义可求a·b.解：(1)当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ=0°,

10、a·b=

11、a

12、

13、b

14、cos0°=4×3×1=12;若a与b反向，则a与b的夹角θ=180°,a·b=

15、a

16、

17、b

18、cos180°=4×3×(-1)=-12.(2)当a⊥b时,a与b的夹角为90°,a·b=

19、a

20、·

21、b

22、cos90°=0,(3)当a与b的夹角θ=60°时，a·b=

23、a

24、

25、b

26、cos60°=4×3×=6.温馨提示利用定义计算a与b的数量积，关键是确定两向量的夹角.当a∥b时，a与b的夹角可能是0°，也可能为180°，解题时容易遗漏180°的情形.2．平面向量数量积的应用【例2】已知

27、a

28、=,

29、b

30、

31、=3，a与b的夹角为45°,求使向量a+λb与λa+b的夹角为锐角时，λ的取值范围.解：设a+λb与λa+b的夹角为θ.则cosθ=＞0,即(a+λb)·(λa+b)＞0,展开得，λa2+(λ2+1)a·b+λb2＞0.∵

32、a

33、=2,

34、b

35、=3,a·b=

36、a

37、

38、b

39、cos45°=3,∴2λ+3(λ2+1)+9λ＞0,即3λ2+11λ+3＞0.λ＜或λ＞.另外θ=0°时，λ=1.故λ≠1.∴λ∈(-∞,)∪(,1)∪(1,+∞).温馨提示求夹角时，注意与三角函数、不等式等知识相结合，但要注意角的范围.3.平面

40、向量数量积的运算律同实数的运算律的比较配合各任课老师，激发学生的学习兴趣，挖掘他们的学习动力，在学生中培养苦学精神，发扬拼搏精神，形成以勤学为荣的班风；充分利用学校开展的“不比基础比进步，不比聪明比勤奋”以及具有储能特色的“当月之星”的评选活动，积极探索素质教育的新途径在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求【例3】已知

41、a

42、=5，

43、b

44、=4，a与b的夹角为120°，求：（1）a·b；（2）（a+b

45、）2；（3）a2-b2；（4）（2a-b）·（a+3b）.思路分析：由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算，如（a+b）2=（a+b）·（a+b）=（a+b）·a+（a+b）·b=a·a+b·a+a·b+b·b=a2+2a·b+b2.解：（1）a·b=

46、a

47、

48、b

49、cos120°=5×4×(-)=-10;(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2=

50、a

51、2+2a·b+

52、b

53、2=25-2×10+16=21;(3)a2-b2=

54、a

55、2-

56、b

57、2=25-16=9;(4)(

58、2a-b)·（a+3b）=2a2+5a·b-3b2=2

59、a

60、2+5a·b-3

61、b

62、2=2×25+5×(-10)-3×16=-48.温馨提示(1)在进行向量数量积运算时，应严格按运算律进行；（2）由于向量数量积满足乘法对加法的分配律，故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式：（a±b）2=a2±2a·b+b2，（a+b）·（a-b）=a2-b2，（a+b+c）=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.因此，有的同学会相当然的用（a·b）·c=a·（b·c）,这是错误的.各个击破类题演练1已知

63、a

64、=2，

65、

66、b

67、=5，且=45°,求a·b.解：由数量积的定义，a、b=

68、a

69、

70、b

71、cos=2×5×cos45°=.变式提升1已知△ABC中，a=5,b=8，∠C=60°,求·.解：因为

72、

73、=a=5,

74、

75、=b=8,<,>=180°-∠C=180°-60°=120°,所以·=

76、

77、

78、

79、·cos<,>=5×8cos120°=-20.类题演练2已知a=(m+1,3),b=(1,m-1)，且a与b的夹角为钝角.若（2a+b）与(a-3b)垂直，求a与b夹角的余弦.解析：∵(2a+b)⊥(a-3b),∴2a2

80、-5a·b-3b2=0.即2［(m+1)2+9］-5［m+1+3(m-1)］-3［1+(m-1)2］=0,配合各任课老师，激发学生的学习兴趣，挖掘他们的学习动力，在学生中培养苦学精神，发扬拼搏精神，形成以勤学为荣的班风；充分利用学校开展的“不比基础比进步，不比聪明比勤奋”以及具有储能特色的“当月之星”的评选活动，积极探索素质教育的新途径在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义