高中数学 2_4 向量的数量积教材梳理素材 苏教版必修41

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1、在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求高中数学2.4向量的数量积教材梳理素材苏教版必修4知识·巧学1.平面向量数量积(内积)的定义已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,我们把数量

2、a

3、

4、b

5、cosθ叫向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=

6、a

7、

8、b

9、cosθ.我们规定零向量与任一向量的数量积为0.误区警示两个向量的数量积称为内积,写成a·b;今后要学到两个向量的外积a×

10、b,而a·b是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替,用a×b或ab表示两个向量的数量积都是错误的.辨析比较(1)在实数中,若a≠0,且a·b=0,则b=0;但是在数量积中,若a≠0,且a·b=0,不能推出b=0,因为其中cosθ有可能为0.(2)已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bca=c.但是a·b=b·c并不一定能得到a=c.两向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积,其符号由夹角的余弦值

11、决定.2.两个非零向量的夹角已知非零向量a与b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向;当θ=时,a与b垂直,记作a⊥b.学法一得在利用两向量的夹角定义求两个向量的夹角时,两个向量必须是同起点的,当起点不同时可通过平移移到同一个起点.3.两个向量的数量积的性质(1)当a与b同向时,a·b=

12、a

13、

14、b

15、;当a与b反向时,a·b=-

16、a

17、

18、b

19、;特别地,a·a=

20、a

21、2或

22、a

23、=.该条性质实现了实数与向量的联系,我们在求向量模时,往往

24、先求模的平方,借助向量的数量积运算进行.设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量.(2)a⊥ba·b=0.若a⊥b,则a与b的夹角θ=90°,所以a·b=

25、a

26、

27、b

28、cos90°=0;反过来,a·b=

29、a

30、

31、b

32、cosθ=0,因

33、a

34、≠0,

35、b

36、≠0,所以cosθ=0.所以θ=90°,则a⊥b.数量积的这条性质,是解决代数、几何问题中的垂直关系的基本方法.深化升华利用性质(2)把平面中几何关系问题转化成向量的计算问题,数与形结合起来.(3)cosθ=.这条性质是数量积定义式a·b=

37、a

38、

39、

40、b

41、cosθ的等价变形式,侧重于两向量的夹角问题.(4)

42、a·b

43、≤

44、a

45、

46、b

47、.由数量积的定义a·b=

48、a

49、

50、b

51、cosθ可知

52、a·b

53、=

54、a

55、

56、b

57、

58、cosθ

59、.∵0≤θ≤180°,∴

60、cosθ

61、≤1.配合各任课老师，激发学生的学习兴趣，挖掘他们的学习动力，在学生中培养苦学精神，发扬拼搏精神，形成以勤学为荣的班风；充分利用学校开展的“不比基础比进步，不比聪明比勤奋”以及具有储能特色的“当月之星”的评选活动，积极探索素质教育的新途径在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对

62、学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求∴

63、a·b

64、=

65、a

66、

67、b

68、

69、cosθ

70、≤

71、a

72、

73、b

74、,当且仅当两个向量共线时“等号”成立.特别地,对于(1)、(2)、(3)三条性质,用向量的数量积可以处理有关长度、角度、垂直的问题.辨析比较(1)在实数中

75、ab

76、=

77、a

78、

79、b

80、,而在向量中

81、a·b

82、≤

83、a

84、

85、b

86、,这是向量与实数的区别.(2)在实数中a2=

87、a

88、2,在向量中也有a2=

89、a

90、2,这是向量和实数类似的一个性质.4.平面向量数量积的运算律(1)交换

91、律:a·b=b·a.证明:设a、b夹角为θ,则a·b=

92、a

93、

94、b

95、cosθ,b·a=

96、b

97、

98、a

99、cosθ,∴a·b=b·a.(2)数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).证明:若λ＞0,(λa)·b=λ

100、a

101、

102、b

103、cosθ,λ(a·b)=λ

104、a

105、

106、b

107、cosθ,a(λb)=λ

108、a

109、

110、b

111、cosθ,若λ＜0,(λa)·b=

112、λa

113、

114、b

115、cos(π-θ)=-λ

116、a

117、

118、b

119、(-cosθ)=λ

120、a

121、

122、b

123、cosθ,λ(a·b)=λ

124、a

125、

126、b

127、cosθ,a·(λb)=

128、a

129、

130、λb

131、cos(π

132、-θ)=-λ

133、a

134、

135、b

136、(-cosθ)=λ

137、a

138、

139、b

140、cosθ.(3)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.如图2-4-2,在平面内取一点O,作=a,=b,=c,图2-4-2∵a+b(即)在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和,即

141、a+b

142、cosθ=

143、a

144、cosθ1+

145、b

146、cosθ2,∴

147、c

148、

149、a+b

150、cosθ=

151、c

152、

153、a

154、cosθ1+

155、c

156、

157、b

158、cosθ2.∴c·(a+b)=c·a+c·b,即(a+b)·c=a·c+b·c.误区警示在实数中,有(a·b)c=a(b·c),但是(a·b)