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1、课时提升作业八 圆锥曲线的参数方程一、选择题(每小题6分,共18分)1.参数方程(φ为参数)表示 ( )A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线【解析】选C.参数方程(φ为参数)的普通方程为+y2=1,表示椭圆.2.曲线(φ为参数)的焦点与原点的距离为 ( )A.2B.3C.4D.5【解析】选D.曲线(φ为参数)的普通方程为-=1,得c==5,所以焦点与原点的距离为5.3.已知曲线的参数方程为它表示的曲线是 ( )A.直线B.双曲线C.椭圆D.抛物线【解析】选D.将曲线的参数方程消去参数t,得到普通方程为y2=6-2x,它表示的曲线是抛物线.二、填空题(每小题6分,共1
2、2分)4.已知曲线C的参数方程是(θ为参数),当θ=时,曲线上对应点的坐标是________.【解析】当θ=时,故曲线上对应点的坐标是.答案:5.已知椭圆C:+=1和直线l:x-2y+c=0有公共点,则实数c的取值范围是________.【解题指南】利用椭圆的参数方程转化为三角函数求值域.【解析】设M(2cosθ,sinθ),θ∈[0,2π)是椭圆和直线的公共点,则有2cosθ-2sinθ+c=0,所以c=2sinθ-2cosθ=4sin∈[-4,4].答案:[-4,4]三、解答题(每小题10分,共30分)6.已知直线l:x+2y-6=0与抛物线y2=2x交于A,B两点,O为原点,求∠
3、AOB的值.【解析】设抛物线y2=2x的参数方程为(t是参数)代入x+2y-6=0,整理得3t2+2t-3=0,①因为A,B对应的参数t1,t2分别是方程①的两根,所以t1t2=-1,因为t表示抛物线上除原点外任一点与原点连线的斜率的倒数,所以·=-1,即kOA·kOB=-1,所以∠AOB=90°.7.如图所示,已知点M是椭圆+=1(a>b>0)上在第一象限的点,A(a,0)和B(0,b)是椭圆的两个顶点,O为原点,求四边形MAOB的面积的最大值.【解题指南】将椭圆的直角坐标方程化为参数方程,表示出点M的坐标,将四边形MAOB的面积表示为椭圆参数的函数,利用三角函数的知识求解.【解析】
4、点M是椭圆+=1(a>b>0)上在第一象限的点,由于椭圆+=1的参数方程为(φ为参数)故可设M(acosφ,bsinφ),其中0<φ<,因此,S四边形MAOB=S△MAO+S△MOB=OA·yM+OB·xM=ab(sinφ+cosφ)=absin.所以,当φ=时,四边形MAOB的面积有最大值,最大值为ab.8.(2016·株洲高二检测)已知圆锥曲线(θ是参数)和定点A(0,),F1,F2是圆锥曲线的左、右焦点.(1)求经过点F1垂直于直线AF2的直线l的参数方程.(2)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AF2的极坐标方程.【解析】(1)圆锥曲线化为普通方程为+=1
5、,所以F1(-1,0),F2(1,0),则直线AF2的斜率k=-,于是经过点F1垂直于直线AF2的直线l的斜率k′=,直线l的倾斜角是30°,所以直线l的参数方程是(t为参数),即(t为参数).(2)直线AF2的斜率k=-,倾斜角是120°,设P(ρ,θ)是直线AF2上任一点,则=,ρsin(120°-θ)=sin60°,则ρsinθ+ρcosθ=.一、选择题(每小题5分,共10分)1.方程(t为参数)表示的图形是 ( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.双曲线一支【解析】选D.由(t为参数)得x2-y2=e2t+2+e-2t-(e2t-2+e-2t)=4且x=et+e-t≥2,故曲线为双
6、曲线的右支.2.曲线(θ为参数)的一个焦点坐标为 ( )A.(3,0)B.(4,0)C.(-5,0)D.(0,5)【解析】选C.由于sec2φ-tan2φ=1,所以曲线的普通方程为-=1,所以双曲线的焦点为(±5,0).二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·深圳高二检测)在直角坐标系中,已知直线l:(s为参数)与曲线C:(t为参数)相交于A,B两点,则
7、AB
8、=________.【解题指南】将直线和曲线的参数方程化为普通方程联立方程组,求交点的坐标计算距离.【解析】直线l:(s为参数)的普通方程为y=3-x,曲线C:(t为参数)的普通方程为y=(x-3)2,依题意,得(x
9、-3)2=3-x,解得x1=3,y1=0;x2=2,y2=1,所以坐标为A(3,0),B(2,1),则
10、AB
11、=.答案:4.(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=-2,曲线C2的参数方程为(t为参数)则C1与C2交点的直角坐标为____________.【解题指南】先将曲线C1的极坐标方程转化为直角坐标方程,曲线C2的参数方程转化为普通方程
