一元二次方程实数根题例剖析

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1、一元二次方程实数根题例剖析例1下列方程中两实数根之和为2的方程是()(A)x2+2x+3=0(B)x2-2x+3=0(c)x2-2x-3=0(D)x2+2x+3=0错答：B正解：C错因剖析：由根与系数的关系得x1+x2=2，极易误选B。应考虑到方程有实数根，故由△可知，方程B无实数根，方程C合适。例2若关于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0两个实数根之和大于-4，则k的取值范围是()(A)k>-1(B)k<0(c)-1

2、2+1=0的两个实数根，当x12+x22=15时，求m的值。错解：由根与系数的关系得x1+x2=-(2m+1)，x1x2=m2+1，∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=2m2+4m-1=15则m=-4或2△=（2m+1）2-4(m2+1)≥0m≥3/4则m=2。例4已知关于x的一元二次方程x2=2(1-m)x-m2的两实数根为x1，x2.(1)求m的取值范围；(2)设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值.分析：(1)若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，可求出m的取值范围；(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2的表

3、达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及(1)题得出的自变量的取值范围，即可求出y的最小值及对应的m值.解：(1)将原方程整理为x2+2(m-1)x+m2=0∵原方程有两个实数根∴△=4(m-1)2-4m2=-8m+4≥0，得m≤1/2.(2)∵x1，x2为x2+2(m-1)x+m2=0的两根∴y=x1+x2=-2m+2，且m≤1/2.因而y随m的增大而减小，故当m=1/2时，取得最小值1.例5甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母p、q分别表示两人各投掷一次的点数。(1)求满足关于x2+px+q=0的方程有实数解的概率。(2)求(1)中方程有两个相同实数解的概率。分析：(1)方程x2+

4、px+q=0有实数解，则p2-4q≥0，把投掷骰子的36种p、q对应值，代入检验，找出符合条件的个数；(2)方程x2+px+q=0有相同实数解，则p2-4q=0，把投掷骰子的36种p、q对应值，代入检验，找出符合条件的个数.解：两人投掷骰子共有36种等可能情况，(1)其中使方程有实数解共有19种情况：p=6时，q=6、5、4、3、2、1；p=5时，q=6、5、4、3、2、1；p=4时，q=4、3、2、1；p=3时，q=2、1；p=2时，q=1；故其概率为19/36.(2)使方程有相等实数解共有2种情况：p=4，q=4；p=2，q=1；故其概率为1/18.点评：本题考查一元二次方程根的判别式和概

5、率关系，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；一元二次方程有实数根，判别式为非负数.例6三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2-12x+35=0的根，则该三角形的周长为()A.14B.12C.12或14D.以上都不对分析：易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角形周长即可.解：解方程得：x=5或x=7.当x=7时，3+4=7，不能组成三角形；当x=5时，3+4>5，三边能够组成三角形.∴该三角形的周长为3+4+5=12，故选B.点评：本题主要考查三角形三边关系，注意在求周长时一定要先判断是否能构成三角形.例

6、7(2010年兰州市)已知两圆的半径R、r分别为方程x2-5x+6=0的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是()A.外离B.内切C.相交D.外切分析：本题可先求出方程的根即两圆的半径R、r，再根据由数量关系来判断两圆位置关系的方法，确定两圆的位置关系.设两圆圆心距为P，两圆半径分别为R和r，且R≥r，则有：外离：P>R+r；外切：P=R+r；相交：R-r解：∵两圆的半径分别是方程的两根，∴两圆半径和为5，半径积为6，半径差为=1，即圆心距等于半径差，∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O1与⊙O2的位置关系是内切.故选B.点评：本题考查了解一元二次方程和由数量关系来判断两圆位置关系的方法

7、.注意此类题型可直接求出解判断，也可利用根与系数的关系找到两个根的差或和.