关于分担值的亚纯函数正规族和唯一性问题的研究

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1、关于分担值的亚纯函数正规族和唯一性问题的研究孟大伟山东大学数学学院，山东，济南，250100中文摘要正规族理论是复分析理论中的一个重要分支，其研究既具有重要的理论意义，也具有重要的应用价值．例如与值分布理论的紧密结合，又例如正规定则在复动力系统中的应用：近年来比较活跃的复动力系统研究中的基本概念Juua集和Fatou集等，就是由正规性引出的．自20世纪初叶P．MoIItel引入正规性的概念以来，正规族理论已有了长足的发展，特别是我在国，熊庆来、庄祈泰、杨乐、顾永兴以及方明亮和庞学诚等人都作出了优秀的工作，从而使我国在正规族理论研究方面处于国际前沿

2、地位．关于正规族理论的基本概念和重要结果，以及研究正规族理论所需要的一些预备知识如Ncvanlinna值分布论等，我们将在第一章中予以详细介绍．正规族理论发展中一个关键的阶段，是20世纪五十年代到八十年代，其间学者们以W．K．Hayman提出的几个猜想为主线，获得了一系列新的正规定则．本文的主要问题，正是追溯自该阶段Hay锄m【l71提出的一个值分布论方面的猜想：如果F是一个超越亚纯函数，则对于任意的正整数n，PP取每个非零有穷值均是无数次．围绕这一猜想，Hayman『171，E．Mu图『351，J．clu血e【8】以及w．Bergweiler和

3、A．Er咖enkof3】，陈怀惠和方明亮

4、41等人棚继做出了优秀的工作，并最终将猜想完全解决．根据Bloch原理【2】，对应上述值分布论方面的问题，Haymanf191又提出了一个关于Pica矗型正规定则的猜想：令莎是定义在区域DcC上的函数族，凡是一个正整数．如果任一函数，∈莎，均满足广，7≠凸，则罗必在区域D上正规．当n≥5的时候，这一猜想被杨乐和张广厚【591证实；而顾永兴【14】和0shkinf36】则分别论证了当佗=3，4，以及当n=1山东大学博士学位论文且箩为全纯函数族时的情况(也可参见【28】)；此后，庞学诚【38]又证明了当n≥2

5、时猜想成立．最后，当n=1时的情况，在1995年，也被Bcr即，ciler和Eremenko【3】，陈怀惠，方明亮以及ZaJcman等人完全解决了(可参阅【4】，【64】，[65])．近年来，张庆彩f67】又从分担值的思想出发研究上述问题，论证得到一个正规定则：如果亚纯函数族岁中的任意两个函数(．厂，夕)均满足广，，和夕n．9，(其中正整数佗≥2)以IM分担一个非零有穷复数o，则莎必是区域D上的正规族．综合以上Ha舯an的两个猜想和张庆彩的结果，不难看出一条从值分布论到Picard型正规定则再到分担值型正规定则的清晰线路，启发我们综合运用值分布论

6、和正规族理论去讨论问题．更进一步地，对于高阶导数形式F，lF(七)的值分布和正规性方面的性质，张庆彩和戚建明等人已经做过详细的研讨，详情可参考文献【68】和【43】．为了更好得把握PF(七)这一形式各类问题的研究，不少学者也讨论了其相关形式F(F(七))n在值分布论和正规族理论方面的情况．1993年，杨重骏，杨乐，王跃飞【55】在科学通报上发表文章，论述了如下结果：当他≥2时，对于任一个超越整函数F，F(F(七)r唯一的皮卡例外值都只可能是o．张宗方和宋国栋等f69】进一步讨论，在1998年论证得到：对于超越亚纯函数F，当佗≥2且og{o，∞)时

7、，必有F(F(蠡))“一口存在无穷多个零点．后来，在2004年，A．Alot越bi【1】又得到了上述结果的一个简化证明方法，同时也有所改进，即把原来的常数口推广到了小函数n(名)的情况．在本文第二章中，受到Bloch原理的启发，并基于上述杨重骏、杨乐、王跃飞、张宗方和宋国栋，以及AlotaLibi等在值分布方面的结果，我们讨论F(F(七)r这一形式函数的零点分布和正规性问题，主要得到了一个分担值型的新正规定则：(1)令佗，七是两个正整数，其中竹，尼≥2，又令口是一个非零有穷复数．亚纯函数族罗定义在区域DcC上，且任一函数．厂∈岁，其所有零点的重数

8、都小低于七．如果函数族莎中任意两个函数(，，夕)均满足，(．厂(七))n和夕(夕(七)1n以IM分担口，则必有莎在区域D上是正规的．为了说明这个正规定则的严谨，我们还给出了几个反例．例如，令D=．【z∈Cllzl<1)，则函数族莎={厶(z)=mzblIm=1，2，⋯)山东大学博士学位论文的例子说明定则中零点重数至少是七的条件是严格的，因为若放低到七一1结论就不再成立了．而莎={厶(z)=mz一等+兰lm=1，2，⋯}、．二7，五一I，则说明当七=1时定则不再成立，故尼≥2的条件是必不可少的．同时，作为以上结果的推论，还得到了两个新的正规定则：(

9、2)先取定正整数佗和七，其中n≥2，再取定一个非零有穷的复数口．令穸是一个定义在区域D上的亚纯函数族，且族中任意函数，所有零点的重数都不