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《2012年考研数学强化阶段考研攻略之高等数学题型(八)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、钻石卡辅导：2012年考研数学强化阶段考研攻略之高等数学题型（八）万学海文定积分在几何上的应用每年都要考察，包括平面图形的面积，旋转体的体积等等。这部分题的重点是掌握各种几何量求解的公式，也可记住定积分应用的本质工具微元法（元素法）.这部分在考研出题时往往和一些其它的概念联合出些综合题目，方学海文数学钻石卡考研辅导专家在此就为大家详细的讲解一下一元函数积分学的应用和多元函数微分法，希望同学们引起重视。一、一元函数积分学1平面图形的面积（1）直角坐标系下面积的计算公式X型区域：由直线x=a,x=b,y=/（
2、兀）,〉‘=g（x）所围成的图形（见图6T）的面积为S=^f（x）-g（x）djc,丫型区域：由直线y-a,y=0,兀=。（刃,兀=妙（刃所围成的图形（见图6-2）的面积为S=『9（）；）-0（刃亦（2）极坐标系下面积的求解公式由曲线厂勺⑹，r=r2（0）（a<0
3、轴围成的平而图形绕y轴旋转一周而成的旋转体体积为V二［/?27rxf(x)dx.Ja下面通过两道例题将此知识点灵活运用【例11曲线y=sinx(00,又己知该抛物线与函数yx轴及直线x=l所圉图形的面积为-，试确定a,b,c使此图形绕兀轴旋转一周而
4、3成的旋转体的体积V最小.【解析】由题知曲线过点(0,0),得c=0,即y=ax2+bx.S+丄加.32如图所示，从x^x+dx的而积dS=ydx，所以S=£ydx=£(ax2+bx)dx=■,HF；,ah1口口'2-267由题知3+矿亍即“丁•当y=ax2+bx绕兀轴旋转一周,旋转体积b用。代入消去〃，得、=兀/
5、4(1"
6、527空上(鳥+1),da275令其等于o得唯-驻点―右牛在该处由负变正，此点为极小值点，故体积最这时嗨,故所求函数尸o?+加+。=一矣+討二、多元函数微分法方法提示：1.直接求偏导
7、2.复合函数求偏导dzdyz=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y),贝！J复合之后z是兀,y的函数,则dz宀xdu宀xSvL3)杰+久5)杰'3.隐函数求偏导①一元隐函数设F(x,y)=O,且F(x.y)在(心儿)的邻域有定义，且/7Uo»>o)=°*若F：CWo)HO,则存在y=y(x),且学=-工,其屮F；,F；是二元函数F(x,y)对dxfyx.y的偏导数②二元隐函数F(x,y,z)=O,且F(x,y,z)^(x0,y0,z0)的邻域有定义,且F(x0,y0,z0)=0,若巧(兀0，〉‘
8、0”0)工0，则存在z=z(x,歹)，且!=—'其中耳，代，巧dxpdyp"是三元函数F(x,y,z)对兀,y,z的偏导数.4.用全微分求偏导利用一阶微分形式的不变性和全微分的运算法则及全微分与偏导的关系求偏导例题解析:ca-arctan—.、【例】z=(F+y-)e",求dz・vy■占tt丄r-■-arctan—aaaa-arctan—【解析】dz=eXd(x+y)+(疋+y)d(ex)-aivune-aivtan-ex-°2y*2xdx+2ydy+(jt+)广)d(-arctan—)=Ixclx+2y
9、dy-(x2+y2)————d(—)l+(』)2*x-aivun-e匚2加+2肋"•砂_灿x2V-arctail—r,ex[(2x4-y)clx+(2y一x)dy].
