双曲线的标准方程推导,解析式求解-教师版

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1、直利教育2015年寒假名师培优一对一教案双曲线的定义及标准方程1、概念：如果把椭圆定义中的和改成差：

2、丹；

3、一

4、超

5、=加或

6、代

7、一

8、丹;1=加，即：

9、

10、丹订一

11、序\=2cif其中g〉o动点的轨迹会发生什么变化呢？①^MF}-MF2=2a=F}F2，贝I」轨迹是线段尸応的延长线；^MF2-MF{=2a=F}F2,则轨迹是线段耳百的延长线;②若

12、Ff2

13、v2Q=

14、

15、MF』-砌，贝I」无轨迹；③在0v加<

16、朋

17、条件下轨迹是存在的，我们把这时得到的轨迹叫做双曲线.［说明］通过对椭I员I定义的类比，启发学生思考并发现2。与

18、片

19、耳

20、的大小关系与动点的轨迹的变化规律.(1)当2qv2c时，双

21、11

22、线(2)当2a=2c时，射线(3)当2a>2c时，无轨迹2、概念形成■双曲线定义'尸尸/定义：平面内到两定点鬥的距离的差的绝对值等于常数(小于闪列)的点的轨迹叫双曲线•这两个定点片迟叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离

23、片色丨叫做焦距・■双曲线定义中的注意点在概念的理解中要注意：(1)是平面内到两定点的距离Z差的绝对值是一个非零正常数，J1这个常数小于F}F2・(2)当

24、

25、-PF2=2a时，动点的轨迹是与鬥对应的双Illi线的一支，PF2-PF}=2a时为双曲

26、线的另一支.3、双曲线的标准方程的推导可以仿照求椭圆的标准方程的做法，求双曲线的标准方程.如图8-12建系，设

27、F,F2

28、=2c,取过点许、耳的直线为兀轴，线段百尸2的中垂线为尹轴，建立直角坐标系,则好(-c,0)、F2(c,0),设M是所求轨迹上的点.依已知条件有

29、MF』—

30、MQJ=±2q,

31、MF」=J(x+c)2+j?,MF21=yj(x-c)2+y2,・•.J(x+c)2+尹2-J(x_抒+y?=±2a,移项得:J(x+c)2+F=±2a+J(x-C)2+J?,平方得：±3-CX)二aj(x-c)，+b(*)再平方得：(/-c2)x2

32、^a2y2=q2(q2一壬)，即(c?-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2),^h2=c2-a2(c>b>0)则心w，a44=i综上：焦点在x轴上双曲线的标准方程是二-匚=1①，其中C2=a2+b2(oa>0)fa~b~焦点巧(一c,0)、F2(c,0).［说明］对于标准方程的推导可以启发学生仿照求椭圆的标准方程的做法来完成，在建立直角坐标系之前，可以让学生初步推断双曲线所具有的对称性，使建系更合理.♦同样如果双曲线的焦点在y轴上(图8—13),那么，此时的双曲线的标准方程乂是怎样的因8-13呢？焦点是Fl(0,—c)、F2(0,c)时，

33、a、b的意义同上，那么只要将方程①的x、y互换，就可以得到焦点在尹轴上双曲线的标准方程是二-二=1ertr其中C2=a2+bc>a>o)f焦点巧(0,—以F2(0,c).［说明］双Illi线的标准方程是指双Illi线在标准状态下的方程，这里的标准状态有两层含义：(1)双曲线的两个焦点均在坐标轴上，(2)这两个焦点的中心必须与原点重合•从这一方面理解，双曲线的标准方程就是在特殊的直角坐标系下的方程.定义及性质对比名称椭圆图象yIp5、、y1JJ-bL■…k定义平面内到两定点耳，耳的距离的和为常数2q(2q>F}F2)的动点的轨迹叫椭圆.BU

34、MFX+

35、Md

36、=2q当2q>2c时，轨迹是椭圆，当2d二2c时，轨迹是一条线段斥鬥当2d<2c时，轨迹不存在平面内到两定点片,竹的距离的差的绝对值为常数2d(0v2gv好场)的动点的轨迹叫双曲线.即MF-MF^=2a当2q<2c时，轨迹是双曲线当2。二2c时，轨迹是两条射线当2a>2c吋，轨迹不存在标准方程焦点在x轴上时："I=1atr(q>b>0)22焦点在y轴上时：y’+t-lcrZr(a>b>0)注：是根据分母的大小來判断焦点在哪一坐标轴上焦点在X轴上时：22—1a2b222焦点在y轴上时：—=1a~b注：是根据项的正负来判断

37、焦点所在的位置常数a,b,c的关系(符合勾股定理的结构)a>c>0,Q最大，nJ以c=b,cbc2=a2^b2(符合勾股定理的结构)c>a>0c最大，可以Q二b,ab精题精讲【例1】判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三最Cibc的值.①Xy_14222X③——―=-122@4y2-9x2=36（与一二=1）・3222分析：双曲线标准方程的格式：平方差，/项的系数是正的，那么焦点在兀轴上，/项的分母是/；才项的系数是正的，那么焦点在尹轴匕才项的分母是解：①是双曲线，a=2,h=V2,c=V6；②是双曲线，a=V2,6=V

38、2,c=2；③是双Ml线，tz==2,c=y/6；④是双曲线，a-3、b=2,e=JT亍・【例2］已知双曲线两个焦点的坐标为片（—5,0）,厲（5,0）,双曲线上一