双曲线的标准方程推导,解析式求解-教师版.doc

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1、.直利教育2015年寒假名师培优一对一教案第2讲双曲线的定义及标准方程1、概念：如果把椭圆定义中的和改成差:或,即:，其中动点的轨迹会发生什么变化呢？①若，则轨迹是线段的延长线；若，则轨迹是线段的延长线；②若，则无轨迹；③在条件下轨迹是存在的，我们把这时得到的轨迹叫做双曲线.[说明]通过对椭圆定义的类比，启发学生思考并发现与的大小关系与动点的轨迹的变化规律.（1）当时，双曲线（2）当时，射线（3）当时，无轨迹2、概念形成n双曲线定义定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫双曲线.这两个

2、定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做焦距.n双曲线定义中的注意点在概念的理解中要注意：（1）是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于.（2）当时，动点的轨迹是与对应的双曲线的一支，时为双曲线的另一支...3、双曲线的标准方程的推导可以仿照求椭圆的标准方程的做法，求双曲线的标准方程．如图8-12建系，设，取过点的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系，则，设是所求轨迹上的点.依已知条件有，，，，移项得：，平方得：（*）再平方得：，即，令则，即综上：焦点在轴上双曲线的标准方程是①

3、，其中，焦点.[说明]对于标准方程的推导可以启发学生仿照求椭圆的标准方程的做法来完成，在建立直角坐标系之前，可以让学生初步推断双曲线所具有的对称性，使建系更合理.◆同样如果双曲线的焦点在y轴上(图8－13)，那么，此时的双曲线的标准方程又是怎样的呢？焦点是F1(0，－c)、F2(0，c)时，a、b的意义同上，那么只要将方程①的x、y互换，就可以得到焦点在轴上双曲线的标准方程是，其中，焦点.[说明]双曲线的标准方程是指双曲线在标准状态下的方程，这里的标准状态有两层含义：（1）双曲线的两个焦点均在坐标轴上，（2）这

4、两个焦点的中心必须与原点重合.从这一方面理解，双曲线的标准方程就是在特殊的直角坐标系下的方程.定义及性质对比名称椭圆双曲线..图象定义平面内到两定点的距离的和为常数2（2）的动点的轨迹叫椭圆.即当2﹥2时，轨迹是椭圆，当2=2时，轨迹是一条线段当2﹤2时，轨迹不存在平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数2（）的动点的轨迹叫双曲线.即当2﹤2时，轨迹是双曲线当2=2时，轨迹是两条射线当2﹥2时，轨迹不存在标准方程焦点在轴上时：焦点在轴上时：注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在轴上时：焦点在轴上时：注

5、：是根据项的正负来判断焦点所在的位置常数的关系（符合勾股定理的结构），最大，可以（符合勾股定理的结构）最大，可以精题精讲【例1】判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量的值..①②③④（）分析：双曲线标准方程的格式：平方差，项的系数是正的，那么焦点在轴上，项的分母是；项的系数是正的，那么焦点在轴上，项的分母是解：①是双曲线，；②是双曲线，；③是双曲线，；④是双曲线，【例2】已知双曲线两个焦点的坐标为，双曲线上一点P到的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为(,

6、)∵∴∴所求双曲线标准方程为【例3】已知双曲线的焦点在轴上，中心在原点，且点，，在此双曲线上，求双曲线的标准方程分析：由于已知焦点在轴上，中心在原点，所以双曲线的标准方程可用设出来，进行求解本题是用待定系数法来解的，得到的关于待定系数..的一个分式方程组，并且分母的次数是2，解这种方程组时利用换元法可将它化为二元二次方程组；也可将的倒数作为未知数，直接看作二元一次方程组解：因为双曲线的焦点在轴上，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为（）则有，即解关于的二元一次方程组，得所以，所求双曲线的标准方程为【例4】点

7、A位于双曲线上，是它的两个焦点，求的重心G的轨迹方程分析：要求重心的轨迹方程，必须知道三角形的三个顶点的坐标，利用相关点法进行求解注意限制条件解：设的重心G的坐标为，则点A的坐标为.因为点A位于双曲线上，从而有，即所以，的重心G的轨迹方程为【例5】已知的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使，求点A的轨迹分析：首先建立坐标系，由于点A的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用正弦定理将其化为边的关系，注意有关限制条件解：以底边BC为轴，底边BC的中点为原点建立坐标系，这时..，由得,即所以，点A的

8、轨迹是以为焦点，2=6的双曲线的左支其方程为：点评：求轨迹方程的过程中，有一个重要的步骤就是找出(或联想到)轨迹上的动点所满足的几何条件，列方程就是根据这些条件确定的，由于轨迹问题比较普遍，题型多样，有些轨迹上的动点满足的几何条件可能比较隐蔽和复杂解决它需要突出形数结合的思考方法，运用逻辑推理，结合平面几何的基本知识，分析、归纳，这里安排本例就是针对以上情况来进行训练的【例6】求下列动