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1、第五讲锐角三角函数【问题探素】一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出无数个以A为一个锐角直角三形（如图），那么图中：筹二绘二怎=•••成立吗?（1）当ZA变化时，上面等式仍然成立吗?（2）上面等式的值随ZA的变化而变化吗?【新镌引入】由前面的探索可以看出：如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。这个比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度，它与这个锐角的大小有着密切的关系。1、在直角三角形中，我们将ZA的对边与它的邻边的比称为ZA的正切，记作hmA即：a~h同理：当直角三角形的一个锐角的大小已
2、确定时，它的对边与斜边的比值；它的邻边与斜边的比值2、如图，在RUABC中，ZC=90。,我们把锐角ZA的对边a与斜边c的比叫做ZA的记作,即：sinA=3、如图，在RtAABC中,ZC=90°,我们把锐角ZA的邻边b与斜边c的比叫做ZA的记作=,即：cosA==o（你能写岀ZB的正弦、余弦的表达式吗？）试试看思考：30°45°60°sin0cosOtan9你能分别说出30。、45。、60。角的三角函数值吗？并填写下表:（根据一付三角板的三边关系进行计算）【总结归纳】1、牢记三角函数的概念，紧紧抓住直角三角形，勤快画图，是解答三角函数题的关键
3、；2、特殊角的三角函数值，只要记住两个三角板的各边比值（如图），严格按照三角函数的定义，即可心算推出。1【精选例题】（-）锐角三角函数的概念例1、（1）在RUABC屮，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（）A.不变B.扩大5倍C.缩小5倍D.不能确定3(2)RtAABC中，ZC=90°,cosA=-,AC=6cm,那么BC等于()5a父n24r18n6A.8cmB.——cmC・——cmD.—cm555A(3)菱形ABCD的对角线AC=10cm,BC=6cm,那么tan—为()3A.一54B.—5D松解析：（1）角A的三角函数值都是两条边的比值
4、，根据分式的基本性质——分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数（或整式），分式的值不变，而RtAABC各边都扩大5倍——倍数一样，因此两边比值也不变。故选A；（2）画直角三角形草图，根据cosA=—可知，—可求AB=10,再用勾股定理求得ABAB5BC=8o故选A；（3）画菱形ABCD,根据菱形“对角线互相垂直平分"、“每一条对角线平分一组对角”，可A2知两对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，根据正切函数的定义即可求出tan-=-o25故选Ao前思后想：解答锐角三角函数题时，要把握几点：解题必画图，概念记心中，定要找百角，没有就构造
5、。牛刀小试：1.在RtAABC中，如果各边长度都扩大3倍，那么锐角A的各个三角函数值（）A.都缩小丄B.都不变•3DC.都扩大3倍D.无法确定:2.如图，在正方形网格中，直线AB.CD相交所成的锐角为a,则sinaC...•的值是（）-'A.-B.-C.-D.-人•43551.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将AABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE,贝ljtanZCBE的值是（）A.24TC.D.4•在RtAABC中，ZACB=90°,2sinB=—则cosB=75.在厶ABC中，AB=AC=5,BC=8,贝!JtanB
6、=答案：1.B；2.C；3.C；3>/57（二）特殊角的三角函数值3tan30°3cos丁30。一2sin30。例2计算下面各式:2cos60°+tan45°+cos245°tan230°+tan"230°解析:3tan30°3cos230°-2sin30°4x/32cos60°+tan45°+cos245°tan230°+tan-230°34关于三角函数的讣算题,前思后想:要先代入（代入特殊角的三角函数值），再求值。记住三角函数值最关键。例3・已知ZA是锐角，且sinA=更，那么ZA等于（）2A.30°B.45°C.60°D.75°解析：根
7、据对特殊角的三角函数值的记忆——sin60°=^,进行反推，可知ZA=60°,故选C。2前思后想：对于特殊角的三角函数值，要相当熟练，做到“倒背如流"——既能顺推，又能倒推。牛刀小试：(2)tan260°+4sin30°-cos45°1.计算：（1）4sin60。+（-2尸一（岳丽一2008）°2•己知a为锐角，当无意义时，求tan（a+15°）一tan（6r-15°）的值。1-tancr3•若/3tan26^=1,则&=1.在厶ABC中，若
8、tan^-l
9、+(—-cos^)2=0,则ZC的度数为25.在AABC中,若
10、sinA一++(一o
11、sB)J。，则ZC=2度.答案：1.(1)4sin60°+(-2)'1-(V2009-2008)°=4x^+
12、—1=275-^；(2)tan26(T+4sin30°
