河北省衡水市景县中高一上期中数学试卷.doc

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2017-2018学年河北省衡水市景县中学高一（上）期中数学试卷　一、选择题（每题5分，共60分）1．方程组的解集是（　　）A．{（5，4）}B．{（﹣5，﹣4）}C．{（﹣5，4）}D．{（5，﹣4）}2．x∈R，则f（x）与g（x）表示同一函数的是（　　）A．f（x）=x2，B．f（x）=1，g（x）=（x﹣1）0C．，D．，g（x）=x﹣33．若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是（　　）A．[0，1]B．[0，1）C．[0，1）∪（1，4]D．（0，1）4．已知A={x|x≥1}，，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（　　）A．[1，+∞）B．[，1]C．[，+∞）D．（1，+∞）5．已知函数，则=（　　）A．B．C．D．6．已知f（x）=x5+bx﹣8，且f（﹣2）=10，则f（2）=（　　）A．﹣26B．﹣18C．﹣10D．107．已知f（x）是定义在R上的偶函数，它在[0，+∞）上递增，那么一定有（　　）A．B．C．D．8．若偶函数y=f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，且，，，则下列不等式成立的是（　　）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a第16页（共16页） 9．函数y=ax（a＞0且a≠1）与函数y=（a﹣1）x2﹣2x﹣1在同一坐标系内的图象可能是（　　）A．B．C．D．10．若函数y=x2﹣6x+8的定义域为x∈[1，a]，值域为[﹣1，3]，则a的取值范围是（　　）A．（1，3）B．（1，5）C．（3，5）D．[3，5]11．若x∈（﹣∞，﹣1]时，不等式（m2﹣m）•4x﹣2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）A．（﹣2，1）B．（﹣4，3）C．（﹣1，2）D．（﹣3，4）12．定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0，则函数f（x）在[m，n]上有（　　）A．最小值f（m）B．最大值f（n）C．最小值f（n）D．最大值　二、填空题（每小题5分，共20分）13．集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=　　．14．已知f（）=x+2，则f（x）　　．15．当0＜x＜1时，幂函数y=xp的图象在直线y=x的上方，则p的取值范围是　　．16．下列说法正确的是　　．①任意x∈R，都有3x＞2x；②若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，则有loga（M+N）=logaM•logaN；③的最大值为1；④在同一坐标系中，y=2x与的图象关于y轴对称．　三、解答题（共70分）第16页（共16页） 17．（10分）已知集合A={1，3，x2}，B={1，2﹣x}，且B⊆A．（1）求实数x的值；（2）若B∪C=A，求集合C．18．（12分）化简下列各式（1）（2）．19．（12分）设函数f（x）=．（1）求f（0），f（2），f（f（3））的值；（2）求不等式f（x）≤2的解集．20．（12分）已知函数f（x）=是奇函数（a为常数）．（1）求a的值；（2）解不等式f（x）＜．21．（12分）已知函数f（x）=loga（3﹣ax）．（1）当时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[2，3]上为增函数，并且f（x）的最大值为1．如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．22．（12分）已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，且f（2）=3，若对任意的m，n∈[﹣2，2]，m+n≠0，都有＞0．（1）若f（2a﹣1）＜f（a2﹣2a+2），求实数a的取值范围；（2）若不等式f（x）≤（5﹣2a）t+1对任意x∈[﹣2，2]和a∈[﹣1，2]都恒成立，求实数t的取值范围．　第16页（共16页） 2017-2018学年河北省衡水市景县中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析　一、选择题（每题5分，共60分）1．方程组的解集是（　　）A．{（5，4）}B．{（﹣5，﹣4）}C．{（﹣5，4）}D．{（5，﹣4）}【分析】把直线方程代入双曲线方程消去y后求得x，代入直线方程求得y．【解答】解：把直线方程代入双曲线方程得x2﹣（x﹣1）2=9，整理得2x=10，x=5x=5代入直线方程求得y═﹣5+1=﹣4故方程组的解集为{5，﹣4}，故选D【点评】本题主要考查了直线与双曲线的关系．涉及交点问题一般是把直线方程与圆锥曲线的方程联立，通过解方程组求解．　2．x∈R，则f（x）与g（x）表示同一函数的是（　　）A．f（x）=x2，B．f（x）=1，g（x）=（x﹣1）0C．，D．，g（x）=x﹣3【分析】根据两函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，f（x）=x2（x∈R），g（x）==|x|（x∈R），两函数对应关系不同，不是同一函数；对于B，f（x）=1（x∈R），g（x）=（x﹣1）0=1（x≠第16页（共16页） 1），两函数的定义域不同，不是同一函数；对于C，f（x）==1（x＞0），g（x）==1（x＞0），两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D，f（x）==x﹣3（x≠﹣3），g（x）=x﹣3（x∈R），两函数的定义域不同，不是同一函数．故选：C．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．　3．若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是（　　）A．[0，1]B．[0，1）C．[0，1）∪（1，4]D．（0，1）【分析】根据f（2x）中的2x和f（x）中的x的取值范围一样得到：0≤2x≤2，又分式中分母不能是0，即：x﹣1≠0，解出x的取值范围，得到答案．【解答】解：因为f（x）的定义域为[0，2]，所以对g（x），0≤2x≤2且x≠1，故x∈[0，1），故选B．【点评】本题考查求复合函数的定义域问题．　4．已知A={x|x≥1}，，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（　　）A．[1，+∞）B．[，1]C．[，+∞）D．（1，+∞）【分析】由A={x|x≥1}，，A∩B≠∅，列出不等式能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵A={x|x≥1}，，A∩B≠∅，∴2a﹣1≥1，解得a≥1，∴实数a的取值范围是[1，+∞）．故选：A．第16页（共16页） 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．　5．已知函数，则=（　　）A．B．C．D．【分析】由已知中函数，将x=，代入可得的值．【解答】解：∵函数，∴f（）=﹣+3=∴=f（）=+1=，故选：D【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度中档．　6．已知f（x）=x5+bx﹣8，且f（﹣2）=10，则f（2）=（　　）A．﹣26B．﹣18C．﹣10D．10【分析】设f（x）=g（x）﹣8，则g（x）为奇函数，求得g（2）的值，可得f（2）的值．【解答】解：设f（x）=x5+bx﹣8=g（x）﹣8，∴g（x）为奇函数，由f（﹣2）=g（﹣2）﹣8=10，可得g（﹣2）=﹣g（2）=18，故g（2）=﹣18．则f（2）=g（2）﹣8=﹣18﹣8=﹣26，故选：A．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于基础题．　7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，它在[0，+∞）上递增，那么一定有（　　）A．B．C．D．第16页（共16页） 【分析】由已知中f（x）在[0，+∞）上递增，结合a2﹣a+1=≥得到答案．【解答】解：∵a2﹣a+1=≥，f（x）在[0，+∞）上递增，∴，故选：B【点评】本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数的单调性，利用配方法得到a2﹣a+1≥是解答的关键．　8．若偶函数y=f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，且，，，则下列不等式成立的是（　　）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a【分析】根据题意，由偶函数的性质分析可得f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，又由＜＜，分析可得答案．【解答】解：根据题意，偶函数y=f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，则函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，又由＜＜，则有c＜a＜b，故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析得到函数在[0，+∞）上的单调性．　9．函数y=ax（a＞0且a≠1）与函数y=（a﹣1）x2﹣2x﹣1在同一坐标系内的图象可能是（　　）A．B．C．D．第16页（共16页） 【分析】讨论a的范围，判断函数的单调性，和二次函数的开口方向和对称轴的位置，从而得出答案．【解答】解：若0＜a＜1，则指数函数y=ax是减函数，二次函数y=（a﹣1）x2﹣2x﹣1开口向下，对称轴为x=＜0，排除D；若a＞1，则指数函数y=ax是增函数，二次函数y=（a﹣1）x2﹣2x﹣1开口向上，对称轴为x=＞0，排除B；又二次函数y=（a﹣1）x2﹣2x﹣1与y轴交点为（0，﹣1），排除A；故选C．【点评】本题考查了指数函数与二次函数的图象，属于中档题．　10．若函数y=x2﹣6x+8的定义域为x∈[1，a]，值域为[﹣1，3]，则a的取值范围是（　　）A．（1，3）B．（1，5）C．（3，5）D．[3，5]【分析】根据二次函数的性质，画出函数的图象，从而得出答案．【解答】解：∵y=x2﹣6x+8=（x﹣3）2﹣1，对称轴x=3，与x轴的交点为：（2，0），（4，0），画出函数的图象：如图示：，∵函数的值域为[﹣1，3]，∴3≤a≤5，故选：D．第16页（共16页） 【点评】本题考查了二次函数的性质，考查了数形结合思想，是一道基础题．　11．若x∈（﹣∞，﹣1]时，不等式（m2﹣m）•4x﹣2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）A．（﹣2，1）B．（﹣4，3）C．（﹣1，2）D．（﹣3，4）【分析】由题意可得（m2﹣m）＜在x∈（﹣∞，﹣1]时恒成立，则只要（m2﹣m）＜的最小值，然后解不等式可m的范围【解答】解：∵（m2﹣m）4x﹣2x＜0在x∈（﹣∞，﹣1]时恒成立∴（m2﹣m）＜在x∈（﹣∞，﹣1]时恒成立由于f（x）=在x∈（﹣∞，﹣1]时单调递减∵x≤﹣1，∴f（x）≥2∴m2﹣m＜2∴﹣1＜m＜2故选C【点评】本题主要考查了函数的恒成立问题m≤f（x）恒成立⇔m≤f（x）得最小值（m≥f（x）恒成立⇔m≥f（x）的最大值），体现出函数恒成立与最值的相互转化．　12．定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0，则函数f（x）在[m，n]上有（　　）A．最小值f（m）B．最大值f（n）C．最小值f（n）D．最大值【分析】利用赋值法证明f（x）的单调性，即可判断函数f（x）在[m，n]的最值情况．第16页（共16页） 【解答】解：函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），定义为R．令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0；再令y=﹣x，代入原式得f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，所以f（﹣x）=﹣f（x），故该函数为奇函数且图象过原点；设x＜y，则x﹣y＜0那么f（x﹣y）＞0，得：f（x）=f（x﹣y+y）=f（x﹣y）+f（y）即f（x）﹣f（y）＞0．∴f（x）是R上的减函数．则函数f（x）在[m，n]上有最大值为f（m），最小值为f（n）．故选：C．【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性求最值的方法　二、填空题（每小题5分，共20分）13．集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=　{3，5}　．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，∴A∩B={3，5}．故答案为：{3，5}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．　14．已知f（）=x+2，则f（x）　x2+4x+3（x≥﹣1）　．【分析】令t=，将已知等式中的x一律换为t，求出f（t）即得到f（x）．注意定义域．【解答】解：令t=（t≥﹣1）则x=（t+1）2所以f（t）=（t+1）2+2（t+1）=t2+4t+3（t≥﹣1）第16页（共16页） 所以f（x）=x2+4x+3（x≥﹣1）故答案为：x2+4x+3（x≥﹣1）【点评】已知f（ax+b）的解析式，求f（x）的解析式，一般用换元的方法或配凑的方法，换元时，注意新变量的范围．　15．当0＜x＜1时，幂函数y=xp的图象在直线y=x的上方，则p的取值范围是　p＜1　．【分析】根据幂函数的性质转化为指数函数进行求解．【解答】解：当0＜x＜1时，幂函数y=xp的图象都在直线y=x的上方，则此时xp＞x，∵0＜x＜1，∴p的取值范围是p＜1．故答案为：p＜1．【点评】本题主要考查了幂函数的图象和性质应用问题，也考查了指数函数的性质应用问题．　16．下列说法正确的是　③④　．①任意x∈R，都有3x＞2x；②若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，则有loga（M+N）=logaM•logaN；③的最大值为1；④在同一坐标系中，y=2x与的图象关于y轴对称．【分析】①，结合y=3xy=2x，的图象即可判断，②，根据对数的运算性质判定，③，由|x|≥0，且函数y=2t递减，即可判断；④，结合y=2x与=2﹣x的图象即可判断．【解答】解：对于①，x＞0时，有3x＞2x，x=0时，有3x=2x，x＜0时，有3x＜2x，故错，对于②，若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，则有loga（M+N）=logaM•logaN，错；第16页（共16页） 对于③，∵|x|≥0，且函数y=2t，在t≥0时递减，∴的最大值为1，正确；对于④，在同一坐标系中，y=2x与=2﹣x的图象关于y轴对称，正确．故答案为：③④【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到了函数、对数运算的基础知识，属于中档题．　三、解答题（共70分）17．（10分）已知集合A={1，3，x2}，B={1，2﹣x}，且B⊆A．（1）求实数x的值；（2）若B∪C=A，求集合C．【分析】（1）由B⊆A，得到2﹣x=3，或2﹣x=x2，得x=﹣1，或x=1，或x=﹣2，当x=±1时，A={1，3，1}不满足集合中元素的互异性，由此求出x=﹣2．（2）由（1）得A={1，3，4}，B={1，4}，由B∪C=A，能求出集合C．【解答】解：（1）∵集合A={1，3，x2}，B={1，2﹣x}，且B⊆A，∴2﹣x=3，或2﹣x=x2，解得x=﹣1，或x=1，或x=﹣2，…（3分）当x=±1时，A={1，3，1}不满足集合中元素的互异性，舍去，∴x=﹣2．…（6分）（2）由（1）得A={1，3，4}，B={1，4}，∵B∪C=A，∴集合C可能为：{3}或{1，3}或{3，4}或{1，3，4}．…（10分）【点评】本题考查实值的求法，考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集、并集定义的合理运用．　18．（12分）化简下列各式第16页（共16页） （1）（2）．【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求出，（2）根据对数的运算性质计算即可【解答】解：（1）原式=（﹣×3×）•ab=；（2）原式===．【点评】本题考查了指数幂和对数的运算性质，属于基础题　19．（12分）设函数f（x）=．（1）求f（0），f（2），f（f（3））的值；（2）求不等式f（x）≤2的解集．【分析】（1）代值计算即可，（2）根据分段函数的解析式解不等式即可．【解答】解：（1）f（0）=2﹣0=1，f（2）=log42=，f（3）=log43=log2f（log2）=，∴f（f（3））=（2）当x＜1时，f（x）≤2⇔2﹣x≤2，，解得：﹣1≤x＜1；当x≥1时，f（x）≤2⇔log4x≤2，，解得：1≤x≤16；综上，不等式的解集为[﹣1，16]．【点评】本题考查了分段函数，以及不等式的解法，属于基础题．　20．（12分）已知函数f（x）=是奇函数（a为常数）．（1）求a的值；第16页（共16页） （2）解不等式f（x）＜．【分析】（1）由题意可得f（0）==0，由此求得a的值．（2）由不等式可得得2x+1＜8，由此解得该不等式的解集．【解答】解：（1）∵函数f（x）=是奇函数（a为常数），∴f（0）==0，求得a=1．（2）不等式f（x）＜，即＜，即2x+1＜8，解得：x＜2，故该不等式的解集为（﹣∞，2）．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，解指数型不等式，属于基础题．　21．（12分）已知函数f（x）=loga（3﹣ax）．（1）当时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[2，3]上为增函数，并且f（x）的最大值为1．如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意，即要考虑到当时，3﹣ax＞0恒成立，转化成恒成立问题，利用复合函数的单调性即可求出实数a的取值范围；（2）假设存在这样的实数，再根据f（x）是增函数，并且f（x）的最大值为1，即可求出a的值．【解答】解：（1）设t=3﹣ax，∵a＞0，且a≠1，则t=3﹣ax为R上的减函数，∴时，t的最小值为，第16页（共16页） 又∵当，f（x）恒有意义，即t＞0对恒成立，∴tmin＞0，即，∴a＜2，又a＞0，且a≠1，∴实数a的取值范围为（0，1）∪（1，2）．（2）令t=3﹣ax，则y=logat，∵a＞0，则函数t（x）为R上的减函数，又∵f（x）在区间[2，3]上为增函数，∴y=logat为减函数，∴0＜a＜1，∴当x∈[2，3]时，t（x）最小值为3﹣3a，即此时f（x）最大值为loga（3﹣3a），由题意可知，f（x）的最大值为1，∴loga（3﹣3a）=1，∴，即，∴，故存在实数，使得函数f（x）在区间[2，3]上为增函数，并且f（x）的最大值为1．【点评】本题主要考查了对数函数的定义域、单调性的应用、函数单调性的性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力．对于是否存在问题，一般假设存在，推出结论．属于基础题．　22．（12分）已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，且f（2）=3，若对任意的m，n∈[﹣2，2]，m+n≠0，都有＞0．（1）若f（2a﹣1）＜f（a2﹣2a+2），求实数a的取值范围；（2）若不等式f（x）≤（5﹣2a）t+1对任意x∈[﹣2，2]和a∈[﹣1，2]都恒成立，求实数t的取值范围．第16页（共16页） 【分析】（1）由题意首先确定函数的单调性，结合函数的单调性脱去f符号，求解关于实数a的不等式组即可求得最终结果；（2）集合（1）中函数的性质得到关于实数t的不等式组，求解不等式组即可求得实数t的取值范围．【解答】解：（1）设任意x1，x2，满足﹣2⩽x1＜x2⩽2，由题意可得f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在定义域[﹣2，2]上是增函数．则f（2a﹣1）＜f（a2﹣2a+2）可化为：﹣2⩽2a﹣1＜a2﹣2a+2⩽2，解得0⩽a＜1，∴a的取值范围为[0，1）．（2）由（1）知，不等式f（x）⩽（5﹣2a）t+1对任意x∈[﹣2，2]和a∈[﹣1，2]都恒成立，fmax（x）⩽（5﹣2a）t+1对任意的a∈[﹣1，2]都恒成立，∴3⩽（5﹣2a）t+1恒成立，即2ta﹣5t+2⩽0对任意的a∈[﹣1，2]都恒成立，令g（a）=2ta﹣5t+2，a∈[﹣1，2]，则只需，解得t⩾2，∴t的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查函数的单调性，函数的奇偶性及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．　第16页（共16页）