信号与系统 第三章

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1、第三章LTI系统方程的建立与系统模拟3.1连续时间系统微分方程的建立连续时间系统的输入输出方程是一个微分方程，不同类型的系统有各自的工作原理并遵循相关的规则。本节中以比较熟悉的电路来举例说明如何根据实际的物理模型来建立微分方程。例3.1-1图3.1-1所示电路，电压源us(t)是输入，电感L2两端电压uo(t)是输出，建立us(t)和uo(t)之间的关系。图3.1-1例3.1-1的电路3.1连续时间系统微分方程的建立解该电路有二个网孔，设网孔电流为i1(t)和i2(t)，已标在图上。列二个网孔的KVL方程有d1tRi(t)Li(t)[i()i

2、()]du(t)111dt1C12s(1)d1tRi(t)Li(t)[i()i()]d0222dt2C12(2)输出电压du(t)Li(t)o2dt2(3)式（1）与（2），得32dddL1L2C3i2(t)C(R1L2R2L1)2i2(t)(R1R2CL1L2)i2(t)(R1R2)i2(t)us(t)dtdtdt3.1连续时间系统微分方程的建立结合式（3），得d3Cd21d1dL1C3uo(t)(R1L2R2L1)2uo(t)(R1R2CL1L2)uo(t)(R1R2)uo(t)u

3、s(t)dtL2dtL2dtL2dt单输入单输出LTI连续系统的输入输出方程，一般是一个n阶常系数微分方程，可表示为nn1dddCr(t)Cr(t)Cr(t)Cr(t)nnn1n11dt0dtdtmm1dddEe(t)Ee(t)Ee(t)Ee(t)mdtmm1dtm11dt0式中，et为系统的输入（激励），rt为系统的输出（响应），Cn,Cn1,,C1,C0和Em,,E0为实常数。欢迎收藏hdubest.taobao.com3.2连续时间系统中的算子3.2.1连续算子及微分方程的算子表示1.算子的定义算

4、子是一种符号，代表了一种运算关系，有微分算子和积分算子两种。微分算子ndndp，pdtdtndnnd(n)如pf(t)f(t)f(t)，pf(t)nf(t)f(t)dtdt1td积分算子p1t1tf(t)f()df(1)(t)(2)如，2f(t)f()ddf(t)pp3.2.1连续算子及微分方程的算子表示2.算子方程微分方程用算子来表示，即为算子方程。2ddd微分方程2r(t)3r(t)2r(t)e(t)e(t)的算子方程为dtdtdt2(p3p2)r(t

5、)(p1)e(t)nn1dddCr(t)Cr(t)Cr(t)Cr(t)nnn1n11dt0dtdtmm1dddEe(t)Ee(t)Ee(t)Ee(t)mmm1m11dt0的算子方程为dtdtnn1mm1(CnpCn1pC1pC0)r(t)(EmpEm1pE1pE0)e(t)简写成D(p)r(t)N(p)e(t)式中D(p)和N(p)均是p的正幂次多项式。3.2.1连续算子及微分方程的算子表示3.传输算子D(p)r(t)N(p)e(t)进一步表示为N(p)r(t)e(t)H(p

6、)e(t)D(p)其中N(p)H(p)D(p)定义H(p)为系统的传输算子。欢迎收藏hdubest.taobao.com3.2.2算子的有关性质算子的性质十分重要，以便能正确进行算子的有关运算。(1)p的正幂多项式可进行类似代数运算的因式分解和相乘。即2(pa)(pb)f(t)p(ab)pabf(t)2p2ftppft。如(p1)(p2)f(t)(p3p2)f(t)，(1)()(1)(1)()(2)设A(p)和B(p)是p的正幂多项式，有A(p)B(p)f(t)B(p)A(p)f(t)如(p1)(p2)f(t

7、)(p2)(p1)f(t)。(3)设A(p)、B(p)、C(p)为p的正幂多项式，则B(p)B(p)B(p)B(p)A(p)A(p)A(p)C(p)C(p)但A(p)C(p)C(p)(4)算子方程两边的公因子不能随便消去。因为算子代表一种运算，不是简单的英文字母。如pxpy，不能认为xy。3.2.3因果连续信号的算子表示1、因果连续信号的算子表示可用冲激函数(t)和传输算子来表示因果信号f(t)，即t0时f(t)0，事实上相当于系统的冲激响应。在式r(t)H(p)e(t)中，令e(t)(t)，r(t)f(t)，H(p)

8、F(p)，得f(t)F(p)(t)不同的F(p)对应了不同的f(t)，列于表3-1中欢迎收藏hdube