信号与系统第三章

《信号与系统第三章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、信号与系统第三章第三章傅里叶变换傅里叶变换§§3.13.1任意信号在完备正交函数集任意信号在完备正交函数集中的表示法中的表示法东北大学2010-3-29主要内容信号的正交分解正交函数集完备正交函数集能量信号和功率信号帕色瓦尔定理重点完备正交函数集难点相关系数X信号分解的目的将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号的特性。简化电路分析与运算，总响应=单元响应之和。netetii0etrtiiHnnrtHetHeitriti0i0X一．信号的正交分解正交分解:•平面中任一矢量可分解

2、为x,y二方向矢量，•空间中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。•一个三维空间矢量Vixjyhz，必须用三个正交的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：Vixjy,Vhz0eX信号的正交分解(续)f(t)f(t)12ttt00tt1t212f12(),()tft为任意两个信号，设f1(t)C12f2(t)fe(t)误差函数fe(t)f1(t)C12f2(t)信号的正交分解t2f(t)f(t)dt12相关系数t1C12t22f(t)dt2t1若C0，则f(t),f(t)称为正交函数，满足12

3、12t2ftftt()()d012t1相关系数分解的原则：f(t)的方均值最小，即误差信号功率(能量)e最小。求相关系数C12221t222令f(t)f(td)t，求最小时的C,ee12ttt1212d即求出0时的C,即12dC122dt2f1(t)C12f2(t)dt0dCt112交换微积分次序t2d222f(t)2Cf(t)f(t)f(t)Cdt011221212t1dC12(1)(2)(3)X相关系数（续）先微分d2)1(f(t)0(f(t)不含C)1112dC12d)2(2

4、Cf(t)f(t)2f(t)f(t)121212dC12d222)3(Cf(t)2Cf(t)122122dC12再积分t2t222f(t)f(t)dt2Cf(t)dt0t12t12211可得相关系数为t2f(t)f(td)t12t1C12t22f(td)t2t1X总结•两周期信号在同一周期内(同区间内)正交的条件是C=0，即：12f(t)f(td)t0T12•对于一般信号，在给定区间正交，而在其它区间不一定满足正交。•两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一信号。f(t)1例3-1-1用正弦波逼近三

5、角函数,.fet?1ftt，0t31303tf(t)21ftsint，0t32303t33tf1tf(t)f(td)tsintdt10120332C12f2(t)C12322f(td)t320sintdt03t03f(t)e21f(t)sint0(t)313fe(t)f1(t)C12f2(t)03tX说明ft和ft正交e2因为f1t中已最大限度抽出f2t，已无f2t分量。可以证明:3f(t)f(t)dt0e20ft中还可以分解

6、出f(t)以外的函数，如f(t)等123f1tC12f2tC13f3tfe1tfe1t：抽出f2t,f3t后剩下的误差函数X二．正交函数集任意信号f(t)可表示为n维正交函数之和：nf(t)C1g1(t)C2g2(t)Crgr(t)Cngn(t)Crgr(t)r1原函数近似函数t2f(t)g(td)trgt,gtgt相互正交：t112rCrt22gr(td)t基底函数t1t2,0mntg(t)g(t)dt2t1mnf(t)gr(td)tKm,mnt1

7、3Krr=0,1,2,...n误差函数均方值：n221t22f(t)[f(t)Cg(t)]dtetrrt1t21r1fe误差信号能量误差信号功率2222令,0,0,,0,0可得3式CCCC12rn理解t2t2f(t)g(td)tf(t)g(td)trrt1t1Crt22Kgr(td)trt1•此公式是个通式，适合于任何正交函数集。•C1,C2,Cn是相互独立的，互不影响，计算时先抽取哪一个都可以，非正交函数就无此特性。•正交函数集规定：所有函数应两两正交。不能因一个函数集中某几

8、个函数相互正交就说该函数集是正交函数。X复变函数的正交特性在区间(t1,t2)内，若复变函数集gr(t(,)r2,1,0,n)满