三角形重心、外心、垂心、内心地向量表示及其性质85474

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1、实用文案三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O是的重心;若O是的重心，则故;为的重心.2．O是的垂心;若O是(非直角三角形)的垂心，则故3．O是的外心(或)若O是的外心则故4．O是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚才O是内心的充要条件可以写成　，O是内心的充要条件也可以是。若O是的内心，则　ACBCCP故　;是的内心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为是

2、向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又标准文档实用文案，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2．H是△ABC所在平面内任一点，点H是△ABC的垂心.由,同理，.故H是△ABC的垂心.（反之亦然（证略））例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（D　）A．外心　B．内心　C．重心　D．垂心解析:由.即则所以P为的垂心.故选D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4．G是△ABC所在平面内一点，=0点G是△ABC的重心.证明作图如右，图中连结BE和CE，则CE=GB

3、，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将代入=0，得=0，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略））例5．P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心.证明∵G是△ABC的重心∴=0=0，即由此可得.（反之亦然（证略））例6若为内一点，，则是的（    ）A．内心          B．外心       C．垂心         D．重心解析：由得，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则标准文档实用文案，由平行四边形性质知，，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。(四)将平面向量与三角形外心结合考查例7若为内一点，，则是的（    ）A

4、．内心          B．外心       C．垂心         D．重心解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故是的外心 ，选B。(五)将平面向量与三角形四心结合考查例8．已知向量，，满足条件++=0，

5、

6、=

7、

8、=

9、

10、=1，求证△P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题）证明由已知+=-，两边平方得·=，同理·=·=，∴

11、

12、=

13、

14、=

15、

16、=，从而△P1P2P3是正三角形.反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有++=0且

17、

18、=

19、

20、=

21、

22、.即O是△ABC所在平面内一点，++=0且

23、

24、=

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26、=

27、

28、点O是正△P1P2P3的中心.例9．在△

29、ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：由题设可设,AB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF标准文档实用文案即，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2例10．若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证.证明若△ABC的垂心为H，外心为O，如图.连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.∴，.又垂心为H，，，∴AH∥CD，CH∥AD，∴四边形AHCD为平

30、行四边形，∴，故.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例11．设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证证明按重心定理G是△ABC的重心按垂心定理由此可得.一、“重心”的向量风采【命题1】是所在平面上的一点，若，则是的重心．如图⑴.M图⑵图⑴标准文档实用文案【命题2】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足

31、，，则的轨迹一定通过的重心.【解析】由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，所以动点的轨迹一定通过的重心，如图⑵.二、“垂心”的向量风采【命题3】是所在平面上一点，若，则是的垂心．【解析】由，得，即，所以．同理可证，．∴是的垂心．如图⑶.图⑷图⑶【命题4】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心．【解析】由题意，由于，即,所以表示垂直于的向量，即点在过点且垂直于的直线上，所以动点的轨