三角形重心、外心、垂心、内心地向量表示及其性质85471

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1、实用文案向量的重心、垂心、内心、外心、旁心三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。重心：中、每条边上所对应的中线的交点；垂心：中、每条边上所对应的垂线上的交点；内心：中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）；外心：中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。一、重心1、是的重心若是的重心，则故,为的重心.2、P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心.证明：∵G是△ABC的重心∴，即由此可得.（反之亦然（证略））3、已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的重心.例1若为内一点，，则是

2、的（    ）A．内心          B．外心       C．垂心         D．重心标准文档实用文案一、垂心1、是的垂心若是(非直角三角形)的垂心，则故2、H是面内任一点，点H是△ABC的垂心.由,同理，.故是的垂心.（反之亦然（证略））3、是所在平面上一点，若，则是的垂心．由，得，即，所以．同理可证，．∴是的垂心．如图1.图⑷图14、已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心．例2P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（）A．外心　B．内心　C．重心　D．垂心标准文档实用文案一、内心1、

3、是的内心的充要条件是ACBCCP引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚才是的内心的充要条件可以写成　2、是的内心的充要条件也可以是。3、若是的内心，则　故　或者;4、已知为所在平面上的一点，且，，．若，则是的内心．∵，，则由题意得，∵，∴．∵与分别为和方向上的单位向量，∴与平分线共线，即平分．同理可证：平分，平分．从而是的内心，如图。5、已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足标准文档实用文案，，则动点的轨迹一定通过的内心．由题意得，∴当时，表示的平分线所在直线方向的向量，故动点的轨迹一定通过的内心，如图。例3平面上的一定

4、点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心一、外心1、是的外心,若O是的外心则故。2、已知是所在平面上一点，若，则是的外心．若，则，∴，则是的外心，如图1。图2图1标准文档实用文案3、已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心，如图2。例4若为内一点，，则是的（    ）A．内心          B．外心       C．垂心         D．重心关于“欧拉定理”的一些问题：著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心

5、、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。例5在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。证明：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：由题设可设,AB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF标准文档实用文案即，故Q、G、H三点共线，且

6、例6．若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证.证明若△ABC的垂心为H，外心为O，如图.连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.∴，.又垂心为H，，，∴AH∥CD，CH∥AD，∴四边形AHCD为平行四边形，∴，故.“欧拉定理”简化：例7设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证证明按重心定理G是△ABC的重心按垂心定理标准文档实用文案由此可得.标准文档实用文案补充练习一：1．已知是平面上不共线的三点，是的重心，动点P满足=(++2),则点P一定为（）A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB边的中点2．在同一

7、个平面上有及一点Ｏ满足关系式：，则Ｏ为的（    ）A外心B内心C重心D垂心2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：，则P为的()Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：，则P的轨迹一定通过△ABC的（   ）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：，则P点为三角形的（    ）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：，则P点为三角形的（   ）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心6．在三角形ABC中，动点

8、P满足：，则P点轨迹一定通过△ABC的：（）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心7.已知非零向量与满足，则