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1、0123456789101112131415161718192021222324..习题:环.....广州大学数学与信息科学学院November3,2009广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》0123456789101112131415161718192021222324按类型划分验证环：..01..08..04温故而知新:Euler定理验证理想..12..13..22..23..14有限性理想，商环形式..09..16..17..18..24理想与同态环的若干性质..19..20..21..

2、26..25..07..03..09微妙温故而知新:二项式定理..24..05..02广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》0123456789101112131415161718192021222324.设Z[i]={a+bi

3、a,b2Z,i2=−1}，证明Z[i]关于复数的加..法和乘法构成一个环。.....Z[i]是个加法群；.乘法封闭且满足结合律；.满足乘法对加法的分配律。....广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》0123456789101112131415161

4、718192021222324.习题(2)...设R是特征p的无零因子交换环，证明：(a+b)p=ap+bp对任意.a,b2R都成立。.....由于是交换环，看以按二项式公式展开，得到.p∑pap−ibiii=0


ppp除了和外，,0

5、，如果a,b都是幂零的，那么a+b也是幂.零的；证明R中所有幂零元构成R的一个理想。.....(若a,b幂零，则a+b幂零)...设an=bm=0，令t=n+m，有t∑t(a+b)t=at−ibi.ii=0如果t−im或i>n.....广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》0123456789101112131415161718192021222324.(若a幂零，则−a幂零)...设am=0，则
m(−a)2m=(−a)2=

6、(a2)m=(am)2=0......(若a,b幂零，则a−b幂零)...若b幂零，则−b幂零;.a+(−b)幂零，故a−b幂零。.....(若a幂零，对任意r2R，有ra幂零)...设.am=0，有(ra)m=rmam=0.....广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》0123456789101112131415161718192021222324.(4)...设F[x]是数域F上的一元多项式集合，现对F[x]定义乘法为f(x)g(x)=f(g(x)).问.F[x]关于多项式的加法和如上定

7、义的乘法是否构成环。.....x2(1+x)=(1+x)2..x21+x2x=1+x2....广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》0123456789101112131415161718192021222324.(5)...在环R中，(a+b)n(a,b2R)的展开式是否适用牛顿二项式定理？在什么条件下可用？......(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b).=a2+ab+ba+b2.ab+ba=2ab?....广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数

8、学基础》0123456789101112131415161718192021222324.(6)...如果环.R的加法群是循环群，证明:R是交换环。.....设(R,+)=hai；.对任意x,y2R，存在m,n2Z使得x=ma,y=na;xy=(ma)(na)=(mn)a.yx=(na)(ma)=(nm)a=(mn)a....广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》0123456789101112131415161718192021222324.(7)...设.a是环R中的可逆元，证明：a的逆元唯

9、一。.....设a有逆元b1,b2，有..b1=a
1=b1ab2=1
b2=b2.....广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》0123456789101112131415161718192021222324.设F={a+bi

10、a,b2Q,i2=−1}，证明：F关于复数加法和.乘法构成一个域。.....广州大学数学与信息科学学院裴定一、