高等代数第二章

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1、第二章行列式§2.1n元排列定义由n个数1,2,…,n组成的一个有序数组称为一个n元排列，记为pp…p。12nn元排列12…n称为n元自然排列或标准排列。定义在一个n元排列p…p…p…p1ijn中，如果pp，则称这对数构成一个逆序。排列pp…pij12n中所含逆序的总数称为该排列的逆序数，记为τ(pp…p)。12n逆序数为奇(偶)数的排列称为奇(偶)排列。把排列p…p…p…p中的p与p换位，其它数1ijnij位置不变，得到新排列p…p…p…p，称这样的处1

2、jin理为一个对换。1定理一次对换改变排列的奇偶性。分两种情况讨论：①p…pp…p→p…pp…p1ii+1n1i+1in②p…p…p…p→p…p…p…p1ijn1jin定理任一n元排列与n元自然排列可通过一系列对换互变，并且所作对换的次数与这个n元排列有相同的奇偶性。只需注意n元自然排列是偶排列。n元排列共有n！个。2§2.2n阶行列式的定义⎧a11x1+a12x2=b1⎨(1)⎩a21x1+a22x2=b2其中aij,bi（i,j=1,2）为常数，xj（j=1,2）为未知数。由G-J消元法可知，当

3、a11a22−a12a21≠0时，可得方程组(1)有唯一解b1a22−a12b2a11b2−b1a21x1=,x2=a11a22−a12a21a11a22−a12a21引用符号aa1112①a21a22表示aa−aa即令11221221,3aa1112=−aaaa②11221221aa2122则方程组(1)的解可表示为b1a12a11b1b2a22a21b2x1=,x2=a11a12a11a12a21a22a21a22称符号①aa1112a21a22为二阶行列式。它含有两行、两列，aji称为它的(i

4、,j)-元，其下角标i表示aij所在的行数，j表示aij所在的列数。aa1112a21a22红实线称为该行列式的主对角线，蓝虚线称为该行列式的次对角线（或副对角线）。4符号①只是个记号，它的实质意义是式②右端的代数式，称之为二阶行列式的展开式，它是一个数。⎧a11x1+a12x2+a13x3=b1⎪⎨a21x1+a22x2+a23x3=b2(2)⎪⎩a31x1+a32x2+a33x3=b3其中aij,bi（i,j=1,2,3）为常数，xj（j=1,2,3）为未知数。由G-J消元法可知，当aaa+aa

5、a+aaa112233122331132132−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32≠0时，可得方程组(2)有唯一解b1a22a33+b3a12a23+b2a13a32−b1a23a32−b2a12a33−b3a13a22x1=,a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32b1a23a31+b2a11a33+b3a13a21−b1a21a33−b2a13a31−b3a11a23x2=,a11a22a33+

6、a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32b1a21a32+b2a12a31+b3a11a22−b1a22a31−b2a11a32−b3a12a21x3=,a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a325记aaa111213Daaa=212223aaa313233=++aaa112233aaa122331aaa132132−−−aaa132231aaa122133aaa11

7、2332则b1a12a13D1=b2a22a23b3a23a33=b1a22a33+b3a12a23+b2a13a32−b3a13a22−b2a12a33−b1a23a32,a11b1a13D2=a21b2a23a31b3a33=b1a23a31+b2a11a33+b3a13a21−b1a21a33−b2a13a31−b3a11a23,6a11a12b1D3=a21a22b2a31a23b3=b1a21a32+b2a12a31+b3a11a22−b1a22a31−b2a11a32−b3a12a21。

8、于是，则方程组(2)的解可表示为D1D2D3x1=,x2=,x3=。D,DD称式③中的符号a11a12a13a21a22a23a31a32a33为三阶行列式。它含有三行、三列，aji称为它的(i,j)-元，其下角标i表示aij所在的行数，j表示aij所在的列数。7a11a12a13a21a22a23a31a32a33红实线称为该行列式的主对角线，蓝虚线称为该行列式的次对角线（或副对角线）。三阶行列式的实质意义是式③右端的代数式，称之为三阶行列式的展开式，它也是一个数。