微分几何20677

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1、微分⼏何苏延辉18650745604su_yanhui@hotmail.com福州⼤学June8,2014............................................................教材▶微分⼏何：彭家贵、陈卿著，⾼等教育出版社。参考书▶DifferentialGeometryofCurvesandSurfaces:ManfredoPerdigãodoCarmo,Prentice-Hall.（有影印版，中译本：曲线与曲面的微分⼏何）▶DifferentialGeometryofCurvesandSurfaces—AConciseGuide:Victo

2、rAndreevichToponogov,Birkhäuser.▶微分⼏何：梅向明、黄敬之著，⾼等教育出版社。............................................................提纲欧⽒空间曲线的局部理论曲面的局部理论标架与曲面论基本定理曲面的内蕴⼏何学............................................................向量空间集合V称为数域R上的向量空间，是指在V上定义了加法和数乘运算，它们满⾜（设u;v;w2V;;2R）：▶u+v=v+u（交换律）；▶(u+v)+w=u+(v+w

3、)（结合律）；▶u+0=u（存在零元）；▶u+(u)=0（存在负元）；▶1u=u；▶()u=(u)；▶(u+v)=u+v；▶(+)u=u+u。若向量空间V中存在⼀组向量v1;v2;


;vn，使得V中任何向量均可由它们的线性组合表示且表示⽅法唯⼀，则称V为n维向量空间，v1;v2;


;vn称为V的⼀组基底。............................................................向量空间Rn是⼀个典型的n维向量空间。对于任意⼀个n维向量空间，给定⼀组基底v1;v2;


;vn后，对任意v2V有对应∑nv=xiv!(x1;x2;


;

4、xn)2Rnii=1这个对应给出了V到Rn的同构。向量空间V上的内积是⼀个双线性函数⟨
;
⟩:VV!R，满⾜：▶⟨v;w⟩=⟨w;v⟩；▶⟨v;v⟩0，且⟨v;v⟩=0当且仅当v=0；定义了内积的向量空间称为欧⽒向量空间，记作(V;⟨
;
⟩)。欧⽒向量空间的任⼀组基底，可经过Schmidt正交化，得到⼀组标准正交基底e1;e2;


;en，它们满⾜：⟨ei;ej⟩=ij;i;j=1;2;


;n............................................................向量空间在Rn上，可以定义内积：设v=(x1;x2;


;xn

5、)，w=(y1;y2;


;yn)2Rn，⟨v;w⟩=x1y1+x2y2+


+xnyn类似地，我们可以建立n维欧⽒空间与具有如上内积的Rn的同构。在R3中记其标准正交基底为i=(1;0;0);j=(0;1;0);k=(0;0;1)对v=(x1;x2;x3)，w=(y1;y2;y3)2R3，定义它们的外积为：ijkv^w=x1x2x3y1y2y3两向量的外积仍是向量，它满⾜反交换律，但不满⾜结合律。............................................................向量空间R3中的三个向量v1;v2;v3，可以定义其混合积：(v1;v

6、2;v3)=⟨v1;v2^v3⟩它表示这三个向量张成的平⾏六面体的有向体积。命题1.1设v1;v2;v3;v4为R3中的四个向量，则▶v1^(v2^v3)=⟨v1;v3⟩v2⟨v1;v2⟩v3▶（Lagrange恒等式）⟨v1^v2;v3^v4⟩=⟨v1;v3⟩⟨v2;v4⟩⟨v1;v4⟩⟨v2;v3⟩▶(v1;v2;v3)=(v2;v3;v1)=(v3;v1;v2)............................................................向量分析设a;b;c均依赖于参数t，写成分量的形式有a(t)=(a1(t);a2(t);a3(t))b

7、(t)=(b1(t);b2(t);b3(t))c(t)=(c1(t);c2(t);c3(t))定义向量值函数a(t)的微商为()dda1(t)da2(t)da3(t)a(t)=;;dtdtdtdt............................................................向量分析再设(t)为数值函数，则下述式⼦成立：ddda(a)=a+dtdtdtddadb⟨a;b⟩=