a微分几何绪论

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1、微分几何DifferentialGeometry绪论AnundergraduatecourseLOGO弯曲空间中的距离大连去北京有多远？步行、飞机、汽车、火车…北京距纽约有多远？…还有更多问题如何计算曲面上两点的距离？是否有不同的距离？有没有比直线距离更短的“距离”？曲线、曲面到底有多弯？在弯曲的表面上是否能够找到两点间一条最短的路径？怎么来比较两个弯曲的形状？一张纸不打折的情况下可以变换成什么形状？……恩格斯数学的研究对象是现实世界中的数量关系和空间形式Geometry-几何“geo-metry”就是“

2、土地测量”Thales(公元前625-547)-三角测量Pythagoras(公元前580-500),《周髀算经》勾股定理Geometry-几何Plato(公元前429-348),确立了定义、公设、公理、定理等概念，建立了逻辑体系。“Elements”，欧几里德(Euclid)，公元前3001607年利玛窦和徐光启将“Elements”前6卷译成中文《几何原本》，中文的“几何”由此得名。（1857年由我国清代数学家李善兰（1811-1882）和英国人伟烈亚历译了后9卷）抽象、公理化几何学-逻辑推理系统数与形的统一：

3、解析几何坐标系（coordinatesystem)笛卡儿(ReneDescartes,1596-1650)法国数学家费马(PierredeFermat,1601─1665)法国数学家一次曲线Line，一次曲面Plane，二次曲线Conics，二次曲面Conicoid，quadricsurface形数形状、大小代数表达式微分几何DifferentialGeometry坐标系、微积分应用于几何学，产生了微分几何研究如何描述空间中一般的曲线和曲面的形状参数变换下几何不变量：曲线弧长、曲率、挠率；曲面第一基本形式、第二

4、基本形式等微积分，拓扑学，高等代数与解析几何知识的综合运用突出的数学家Euler(1707-1783),Morge(1746-1818)引进曲线曲面参数表示法曲率能够由主曲率表示，Euler公式Gauss(1777-1855)曲面的第一、二基本形式、Gauss曲率，内蕴几何学IntrinsicdifferentialgeometryRiemann(1826-1866)度量Measure、流形Manifold、黎曼几何学；弯曲空间Klein(1849-1925)变换群Cartan(1869-1951)活动

5、标架，纤维丛及其联络突出的数学家陈省身开创并领导着整体微分几何、“陈省身示性类”丘成桐“卡拉比猜想”，“微分几何中偏微分方程作用”，“完备黎曼流形上调和函数”杨振宁先生对几何学的概括天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。课程内容WHATWEWILLLEARN曲线与曲面的微分几何CurveandSurface显式函数explicitfunctionyfxz(),fxy(,)隐式曲线曲面implicitfxy(,)0,(,,)0fxyz参数曲线曲面p

6、arametric((),(),()),xtytzt((,),(,),(,))xuvyuvzuv课程内容曲线(Curve):弧长、曲率、挠率、Frenet标架、曲线基本定理…曲面(Surface):第一、二基本型、主曲率、高斯曲率、平均曲率、共形映照、测地曲率和测地线…300BC17世纪18世纪19世纪20世纪Euclid笛卡尔EulerRiemannCartanGauss陈省身微分几何有用吗？HOWTOMAKEUSEOFIT微分几何的应用理论物理广义相对论将物理量解释为几何量。具体的说，空间和时间结合在一起由一个流

7、形描述：不同的参照系给出不同的局部坐标；不同参照系之间的关系即是坐标变换。时空流形的度量由所谓Lorentz度量给出，象Riemann几何一样计算出曲率等几何量。Einstein方程说：时空的物理量（能量动量张量）等于时空的几何量（Ricci曲率张量)微分几何的应用计算几何、图形学曲线曲面设计•离散微分几何网格曲面计算机视觉机器学习与数据分析基于流形的学习方法拓扑学，代数拓扑和微分拓扑与之紧密相连代数几何，代数方程（组）的零点集计算机视觉ComputerVision数字几何数字几何媒体(Digitalge

8、ometrymedia)正成为继声音、图像和视频之后的下一轮数字媒体浪潮。1D2D2D3D数字几何媒体：拓扑结构复杂；采样非均匀；没有通用标准几何造型ShapemodelingSurfacereconstruction(static)FromCToropticalimages,rawp