t1空间的构造及其性质特征new

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第26卷第6期黄冈师范学院学报Vo1．26No．62006年12月JournalofHuanggangNormalUniversityDec．2006T空间的构造及其性质特征陈文略，刘志兵(黄冈师范学院数学与信息科学学院。湖北黄州438000)摘要：本文研究T。空间的构造，利用拓扑补空间的有关性质，得到了T。空间结构的特征以及几个新的性质及其推论．关键词：有限补空间；开集；T空间；最小T。空间中图分类号：O189文献标识码：A文章编号；1003—8

2、078(2006)06，0010—03TheconstructionoftheT1spaceanditscharacteristicCHENWen—iue，LIUZhl—bing(CollegeofMathematicsandInformationScience。HuanggangNormalUniversity，Huangzhou438000，Hubei，China)Abstract：Inthispaper，wemakefurtherrelevantintotheconstructionoft

3、heTlspace，andgetsever—alnewpropertiesanddeductionsoftheTlspacebyusingtherelevantpropertiesofatopologicalcom—p

4、ementaryspace．Keywords：limitedcomplementaryspace；openset；Tlspade；minimalTlspace我们知道，对于T，空间【1]，由于V，Y∈，当≠时，它们都存在有开邻域z∈U，Y∈U，使得{，Y}nunu，=j2『，即任

5、意两个不同的点中每一个点都有一个邻域不包含另一个点．在一般文献中(如文献[1～6])，未能较为全面地反应出T。空间的构造，从而更好地反应出T，空间的性质特征．本文从T。空间的构造人手，对其作进一步地探讨，得到了一些相关的比较好的性质，诸如：任何集合上的所有T。空间中都具有最小T空间，一些充要条件等性质特征，这对进一步认识和掌握T空间具有积极的作用，同时相关结论可用于对实际问题的解决．对于拓扑补空间，它与上任意的T空间间具有非同寻常的联系，从这些联系中可以了解到T。空间的构造特点，而这些构造又给了

6、我们最直接的感受．下面的定理中就可以看到这种紧密的联系．1主要结论及其证明定理1设是一个有限朴空间，那么一定是T。空间．证明由于是一个有限补空间，设其拓扑为r，那么对于V∈，有一{}∈r为开集，从而对于V，Y∈X，且王≠时，yEx一{)，∈x一{Y)都为开邻域，显然满足{，Y)nun=j2『，故x一定是T。空间．定理2设是一个T。空间，其拓扑为r，而r。是上的一个有限补拓扑，则必定有r1cr．收稿日期：2006—03—22．作者简介；陈文略，男。湖jb麻城人．剐教授，主要从事实变函数和拓扑学方面

7、的研究维普资讯http://www.cqvip.com第6期陈文略，等：T空间的构造及其性质特征证明对于V工∈X，由于(，r)是一个T1空间，那么当yEx且≠工时，存在的开邻域U，使得工U，从而有U==：UU∈r为T空间中的开集，且U—X一{工)∈r．．rE-^苷设工，工，⋯，。∈X为X中的任意有限多个(个)不同的点，由上面所证知一{}，一{．r)，⋯，一{)都是T空间中的开集，故有●N(一{))===X一{1，2，⋯，j)l1为T空间中的开集，也就是说。VV=X一{工1，工2，⋯，)∈r1∈r

8、，即r1Cr．从上面定理2的结论可以看出：上的T。空间一定包含了X上的有限补空间，而定理1又告诉我们，有限补空间本身也是一个T空间，从而有限补空间是上最小的T空间．定义1如果存在一个上的T空间，其相应的拓扑为r’，使得对于X上的任意T空间，其相应的拓扑为r，都有rcr，则称(r，X)为上的最小T。空间．显然有下面的结论：推论1任意X上的最小T空间一定存在，且都为上的有限补空间．推论2集合上的拓扑空间(，r)是T空间的充要条件是上的有限补拓扑r满足F1CF．证明必要性由定理2得到．充分性由于rcr

9、，那么对于V，yEX，且z≠时，yE一{)，∈一{)∈rtcr，满足T1空间的定义，即(，r)是T。空间．推论3设上的两个拓扑空间(文，r。)，(，)都是T空间，则(X，rn)也是上的一个Tt空间．只要注意到：若r是上的有限补拓扑，由推论2知，rCF，r’c，就有r。cr。Nr：，从而n是上的一个拓扑．定理3若拓扑空间上的拓扑为r，则下列条件是等价的：(1)是一个T。空间；(2)对于Vz∈X，则一{工)是开集；(3)任意独点集{工)∈)是闭集；(4)对于V∈X，U为的邻域系，有nU=；={工)_