高等代数课件 5.2 标准形

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1、第二节标准形二次型的标准形配方法化标准形初等变换法化标准形作业1第五章二次型二次型的标准形设A,B是两个n阶对称矩阵,若存在可逆矩阵C,T使得B=CAC则称A与B是合同的,或A合同于B.记作A～B.定义如果二次型f(x,x,,x)XTAX12n=经可逆线性变换X=CY,化成平方和TTT222YBY=Y(CAC)Y=dy+dy++dy1122nnT是二次型XTAX的形式,则称YBY的标准形.注此时d1dT2CAC=B=为对角阵,化二次型dnT为标准型,转化为求可逆阵C,使得CAC为对角阵.2二次型的标准形

2、一、用配方法化二次型成标准形例化二次型222f(x,x,x)=x+2x+5x+2xx+2xx+6xx123123121323为标准形,并求所用的变换矩阵.含x1的平方项含有x1的项配方解去掉配方后多出的项222f=x+2x+5x+2xx+2xx+6xx123121323222=x1+2x1x2+2x1x3+2x2+5x3+6x2x322222=(x1+x2+x3)−x2−x3−2x2x3+2x2+5x3+6x2x3222=(x+x+x)+x+4x+4xx若令1232323=(x+x+x)2+(x+2x)2.y1=x1+x2+x

3、312323则f=y2+y2y2=x2+2x3,12继续配方y3=x33二次型的标准形y1=x1+x2+x3x1=y1−y2+y3若令y2=x2+2x3⇒x2=y2−2y3y=xx=y3333x11−11y1所用变换矩阵为1−11⇔x2=01−2y2,x001yC=01−2可逆.3300122222故f=x1+2x2+5x3+2x1x2+2x1x3+6x2x3=y1+y2.111x1y11记

4、A=123,X=x2,Y=y2,B=1135x3y30f(x,x,x)XTAXTT222123==Y(CAC)Y=d1y1+d2y2+d3y3令X=CY,=YTBY4二次型的标准形所用变换矩阵C=AB例化二次型113f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3−6x2x3C=1−1−1.为标准形,并求所用的变换矩阵.001解由于所给二次型中无平方项,故令令x1=y1+y2x1110y1z1=y1−y3x2=y1−y2,即x2

5、=1−10y2,z2=y2−2y3x=yx001yz=y333333即代入f=2x1x2+2x1x3−6x2x3,y101z11得f=2y2−2y2−4yy+8yy.121323y=012z2222=2y−4yy+2y1133−2y2−2y2+8yy.y3001z33223222再配方,得f=2(y−y)−2(y−2y)+6y.132332225得f=2z−2z+6z.123二次型的标准形拉格朗日配方法的步骤1.若二次型含有x

6、i的平方项,则先把含有xi的乘积项集中,然后配方.再对其余的变量同样进行,直到都配成平方项为止.经过非退化线性变换,就得到标准形;2.若二次型中不含有平方项,但是aij≠0(i≠j),则先作可逆线性变换xi=yi−yjxj=yi+yj(k=1,2,,n且k≠i,j)xk=yk化二次型为含有平方项的二次型,然后再按1中方法配方.6二次型的标准形练习设二次型222f(x,x,x)=x+x−3x+4xx−6xx1231231223222则f(x1,x2,x3)=x1+x2−3x3+4x1x2−6x2x32222=x+4x+

7、4xx−3x−3x−6xx1212232322=(x+2x)−3(x+x)1223y1=x1+2x222若令y2=x2+x3,则f=y1−3y2y3=x37二次型的标准形例设二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2通过变换:x1=y1+y2,x2=y1−y2,x3=y322就变成标准形f=2y1−2y2x1110y1从可逆变换的角度看,即x2=1−10y2,x3001y3从可逆变换的角度看,即T2110111−2=1−1

8、101−101018二次型的标准形注(1)正交变换法化的标准型系数是A的特征值,而配方法则与它无关.(2)使用不同的方法,所得到的标准形可能不相同(标准型不唯一).(3)标准形中含有的项数必定相同,项数等于所给二次型的秩.