欧拉积分在定积分计算中的应用

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1、2008年青海师范大学学报(自然科学版)2008第1期JournalofQinghaiNormalUniversity(NaturalScience)No.1欧拉积分在定积分计算中的应用赵纬经,王贵君(天津师范大学数学科学学院,天津300387)摘要:本文针对某些难度较大的定积分计算问题,首先通过适当的变换将其转化为欧拉积分,再应用欧拉积分的性质,从而使定积分计算问题巧妙地得到解决,进而为一些特殊型的定积分计算提供了一种有效方法.关键词:欧拉积分;Γ函数;B函数中图分类号:O172.2文献标识码:A文章编号:1001-

2、7542(2008)01-0005-04性质2B函数满足以下2条性质:1预备知识(1)B(p,q)在定义域p>0,q>0内连续;对于微积分学中定积分计算问题来说,通常的(2)对称性:B(p,q)=B(q,p).做法是先求出原函数,再利用牛顿—莱布尼茨公性质3Γ函数与B函数的关系:式代入上下限进行计算.但对于一些特征较为明显Γ(p)Γ(q)B(p,q)=(p>0,q>0).Γ(p+q)的题目,有时也采用变量替换,递推等技巧方法来命题1(余元公式)当s≠0,1,2⋯时,处理.笔者曾查阅大量“数学分析”教材和全国部分π考研资

3、料,发现诸多定积分计算问题蕴涵许多较强Γ(s)Γ(1-s)=.sinπs的技巧性,尤其针对一些难度较大的定积分计算问121π对命题1,若令s=,则Γ()==题,如果只局限于上述方法,通常是不易计算出结22πsin果来的,有时若技巧使用不当,还可导致计算过程21繁杂、事倍功半.π,即Γ()=π.继而再由性质1,可明显获得:2众所周知,数学分析中Γ函数与B函数是两个1(2n-1)!!推论1Γn+=nπ;非常重要的非初等函数,人们曾经对此进行了仔细22nn地研究,如同三角函数和对数函数那样,还专门制1(-1)2Γ-n+=π.

4、2(2n-1)!!作了Γ函数和B函数表,下面来回顾一下:π定义1含参变量积分:Γ(s)=[6]2mn命题2∫sinxcosxdx+∞10s-1-xp-1∫xedx(s>0),B(p,q)=∫x(1-1m+1n+100=B,,(m>-1,n>-1).q-1222x)dx(p>0,q>0)统称为欧拉积分,前者称为Γ函数,后者称为B函数.2定积分计算中的应用性质1Γ函数满足以下3条性质:纵观近几年高校研究生入学考试数学分析试(1)Γ(s)在定义域s>0内连续且可导;卷,笔者发现定积分计算占有一定比重,并且部分+(2)递推公式

5、Γ(s+1)=sΓ(s),特别n∈Z题目方法奇特、难度较大、技巧性较高.下面,我们时Γ(n+1)=n!;通过三类较为典型的定积分计算问题,具体探讨如(3)延拓后的Γ函数除在s≠0,-1,-2⋯外何使用欧拉积分来计算定积分,由此看到应用此方均收敛.收稿日期:2007-12-10作者简介:赵纬经(1984-),男,河南洛阳人,汉族,硕士研究生,研究方向:模糊测度与模糊积分.王贵君(1962-),男,吉林通化人,汉族,教授,研究方向:模糊测度与模糊积分.6青海师范大学学报(自然科学版)2008年法,可使问题直观简捷,通俗易懂

6、.11Γ()Γ(1-)+∞2144-x=我们知道,著名的概率积分∫edx及其推2130Γ(+)44+∞22n-x广形式∫xedx的计算是至关重要的,关于它1ππ0==2π2们的计算曾多次出现在考研试题及诸多数学分析sin4教材中,但多数采用的方法是按泰勒公式展开或转从而化为二重积分来处理,一般来说,计算过程比较复π11+cosxdx(1-k)4π杂.但若令t=x2,将其转化为欧拉积分,再利用欧∫=3.0sinx1+kcosx2(1+k)4拉积分的性质,则可迅速获得结果.下面再通过一个计算性证明题目来看欧拉积+∞211π

7、∫e-xdx=Γ=;分的巧妙应用.0222π2π+∞2112cosxdxdx2n-x例2证明=∫xedx=2Γn+2∫01+cos2x∫03-cosx0π(2n-1)!!.=π.2n+1222.1形如f(sinx),g(cosx)的定积分计算2解首先,对第一个积分.令t=cosx,则dxπ1+cosxdx111--例1计算(0

8、t,则dt=y2dy,代入上式得技巧使用不当,则导致计算过程极为复杂,甚至无2π2从下手.这里,我们不妨转化为欧拉积分计算.2cosxdx∫01+cos2xt1-kxx解令tan=tan,则有tan=1112121+k22-=∫t2(1-t)2dt021+kttan.利用三角恒等式可得11111-k2=y-4(1-y)-2dy24